14.02.2003

Klausur II Lineare Algebra für Informatiker

Hilfsmittel: Ein beliebig beschriebenes Blatt DIN A4. Zeit: 180 Minuten. In der Klausur sind insgesamt 60 Punkte erreichbar. Jede Aufgabe sollte auf einer neuen Seite bearbeitet werden. Wer mehr Papier benötigt, kann jederzeit welches nachbekommen. Aufgabe 1. (10 Punkte) Sei K ein Körper, sei n ≥ 1. Bestimme die Determinante der Matrix A ∈ K^{n×n}. Falls A regulär ist, so gib ihre Inverse A^{−1} an. (Hinweis: eine der Matrizen ist singulär.)

(1) A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) ∈ R^{2×2}.

(2) A = (\begin{matrix}1 & α & α+1 \\ α+1 & 0 & α \\ 1 & α+1 & α+1 \end{matrix}) ∈ F_{4}^{3×3}.

(3) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}) ∈ F_{2}^{4×4}.

Aufgabe 2. (8 Punkte)

Sei A = (\begin{matrix}1 & −1 & 1 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & −1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 & −1 \end{matrix}) ∈ F_{3}^{4×5}, sei b = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) ∈ F_{3}^{4}, und sei c = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) ∈ F_{3}^{4}.

(1) Bestimme rk A.

(2) Bestimme eine Basis des Lösungsraums {x ∈ F_{3}^{5} | Ax = 0}.

(3) Bestimme {x ∈ F_{3}^{5} | Ax = b}.

(4) Bestimme {x ∈ F_{3}^{5} | Ax = c}.

(Hinweis: forme simultan (A|b|c) um.) Aufgabe 3. (2 × (2+3+3+2) Punkte) Sei n ≥ 1, und sei A ∈ C^{n×n}. Bestimme jeweils

(a) das charakteristische Polynom χ_{A}(X) von A,

(b) Basen der Eigenräume und der Haupträume von A,

(c) die Jordansche Normalform von A, und

(d) das Minimalpolynom μ_{A}(X) von A. (Hinweis: (b) und (c) können simultan gelöst werden.)

Die Matrizen seien hierzu gegeben durch

(1) A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ,

(2) A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ −1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Aufgabe 4. (8 Punkte) Sei n ≥ 1, sei A ∈ C^{n×n}. Entscheide, ob A normal, hermitesch bzw. unitär ist, und begründe die Entscheidung. Diagonalisiere A unitär falls möglich.

(1) A = (\begin{matrix}1 & i \\ i & 0 \end{matrix}).

(2) A = (\begin{matrix}0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \\ i & 0 & 0 \end{matrix}).

Aufgabe 5. (9 Punkte)

(1) Untersuche die hermitesche Matrix (\begin{matrix}1 & i & 0 \\ −i & 3 & −i \\ 0 & i & 1 \end{matrix}) ∈ C^{3×3} auf Definitheit.

(2) Sei A = (\begin{matrix}1 & 0 & β & 1 \\ β & β^{2} & β & β^{2} \\ 0 & β & β^{2} & β^{2} \\ 1 & β^{2} & β & β \end{matrix}) ∈ GL_{4}(F_{8}) als invertierbar bekannt. Zeige: der Eintrag an der Position (3, 2) von A^{−1} ist gleich 0.

(3) Seien a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{2} = 0, und sei a_{n} = 3a_{n−2} − 2a_{n−3} für n ≥ 3, wobei a_{n} ∈ C stets. Berechne a_{n} für n ≥ 0.

Aufgabe 6. (5 Punkte) Sei n ≥ 1. Zeige, oder widerlege durch Angabe eines Gegenbeispiels.

(1) Ist A ∈ C^{n×n} hermitesch und positiv definit, so ist ihre Spur tr A reell und positiv.

(2) Es ist (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) die einzige Matrix in C^{2×2}, die zugleich unitär und hermitesch ist.

(3) Sind x und y Eigenvektoren von A ∈ C^{n×n} zu verschiedenen Eigenwerten, so ist x̄^{t}y = 0.

(4) Ist x ∈ C^{n} ∖ {0} und A = xx̄^{t}, so ist dim E_{A}(x̄^{t}x) = dim H_{A}(x̄^{t}x) = 1 und dim E_{A}(0) = dim H_{A}(0) = n − 1.

(5) In F_{2}^{n×n} ist die Summe zweier beliebiger Permutationsmatrizen singulär.