Blatt #9, 12. Dez. 2002

Aufgabe 34.

(1) Die Relation ist reflexiv (wähle S = 1, T = 1), symmetrisch (multipliziere mit S^{−1} ∈ GL_{m}(K) von links und T^{−1} ∈ GL_{n}(K) von rechts) und transitiv (verwende Multiplikation in GL_{m}(K), bzw. in GL_{n}(K)). Also ist ∼ eine Äquivalenzrelation. Für eine Matrix A ∈ K^{m×n} sei f_{A} : K^{n} → K^{m}, x ↦ Ax definiert, d.h. A ist die beschreibende Matrix zu f_{A}, bezüglich der Standardbasen. Die Zeilenstufenform von A sei GA mit G ∈ GL_{m}(K). Sei d die Anzahl der ausgewählten Spalten. Durch elementare Spaltenoperationen, d.h. durch Multiplikation mit einer Matrix

H ∈ GL_{n}(K) von rechts, bringe man GA auf die Form GAH = (\begin{matrix}E_{d} & 0_{d,n−d} \\ 0_{m−d,d} & 0_{m−d,n−d} \end{matrix}) =: D_{d}.

Wegen d = dim Im f_{GAH} = dim G(Im f) = dim Im f ist A zu genau einer Matrix dieser Form äquivalent. Es ist also {D_{0}, …, D_{min(m,n)}} ein Repräsentantensystem.

(2) Die Relation ist reflexiv (wähle S = 1), symmetrisch (multipliziere mit S von links und mit S^{−1} von rechts) und transitiv: Aus A, B, C ∈ K^{n×n} mit A ∼ B, B ∼ C, d.h. mit S, S̃ ∈ GL_{n}(K), B = S^{−1}AS und C = S̃^{−1}BS̃, folgt C = S̃^{−1}S^{−1}ASS̃. Da (SS̃)^{−1} = S̃^{−1}S^{−1} ∈ GL_{n}(K), folgt A ∼ C.

(3) Die Ähnlichkeitsklassen sind:

\{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} )\}

\{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} )\}

Ein Repräsentantensystem ist z.B.:

\{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )\}.

Aufgabe 35.

(1) Es ist A(1)_{\underline{x},\underline{x}′} = ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) und A(1)_{\underline{x}′,\underline{x}} (= (A(1)_{\underline{x},\underline{x}′})^{−1}) = ( \begin{matrix}− \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ).

Damit ist A(f)_{\underline{x}′,\underline{x}′} = A(1)_{\underline{x}′,\underline{x}}A(f)_{\underline{x},\underline{x}}A(1)_{\underline{x},\underline{x}′} = ( \begin{matrix}− \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ).

(2) Es ist A(1)_{\underline{y}′,\underline{y}} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) und A(1)_{\underline{x},\underline{x}′} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

Damit ist A(f)_{\underline{y}′,\underline{x}′} = A(1)_{\underline{y}′,\underline{y}}A(f)_{\underline{y},\underline{x}}A(1)_{\underline{x},\underline{x}′} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ).

(3) Es ist A(1)_{\underline{x}′,\underline{x}} = ( \begin{matrix}i & 0 & 1 \\ − \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i & i & 1+i \\ −1 & 1 & 1+i \end{matrix} ) und A(1)_{\underline{x},\underline{x}′} (= (A(1)_{\underline{x}′,\underline{x}})^{−1}) = ( \begin{matrix}2−2i & −1+i & 1+i \\ 1+i & −1−i & i \\ −1−2i & 1+i & 1−i \end{matrix} ).

Damit ist A(f)_{\underline{x}′,\underline{x}′} = A(1)_{\underline{x}′,\underline{x}}A(f)_{\underline{x},\underline{x}}A(1)_{\underline{x},\underline{x}′} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ).

(4) Es ist A(1)_{\underline{x},\underline{x}′} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{matrix} ) und A(1)_{\underline{x}′,\underline{x}} (= (A(1)_{\underline{x},\underline{x}′})^{−1}) = ( \begin{matrix}5 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 6 \\ 5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{matrix} ).

Damit ist A(f)_{\underline{x}′,\underline{x}′} = A(1)_{\underline{x}′,\underline{x}}A(f)_{\underline{x},\underline{x}}A(1)_{\underline{x},\underline{x}′} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 6 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ).

Aufgabe 36.

(1) Bringt man A auf Zeilenstufenform GA mit einer Matrix G ∈ GL_{2}(R), so gilt für die erweiterte

Matrix G(A|b) = G ( \begin{matrix}2 & 6 & −3 & | & −1 \\ −1 & −3 & 4 & | & 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 3 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{matrix} ).

Damit ist \{x ∈ R^{3} | Ax = 0\} = ⟨( \begin{matrix}−3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ die homogene Lösung und \{x ∈ R^{3} | Ax = b\} =

( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + ⟨( \begin{matrix}−3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ die inhomogene Lösung.

(2) Bringt man A auf Zeilenstufenform GA mit einer Matrix G ∈ GL_{6}(F_{5}), so gilt für die erweiterte

Matrix G(A|b) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix} ).

Damit ist \{x ∈ F_{5}^{4} | Ax = 0\} = ⟨( \begin{matrix}−3 \\ −2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ die homogene Lösung. Es ist \{x ∈ F_{5}^{4} | Ax = b\} = ∅.

(3) Bringt man A auf Zeilenstufenform GA mit einer Matrix G ∈ GL_{3}(F_{4}), so gilt für die erweiterte

Matrix G(A|b) = ( \begin{matrix}0 & 1 & α & α+1 & 0 & 1 & 0 & | & α \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & α & 0 & | & α+1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{matrix} ).

Damit ist \{x ∈ F_{4}^{7} | Ax = 0\} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ α \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ α+1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ α \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ die homogene Lösung und

\{x ∈ F_{4}^{7} | Ax = b\} = ( \begin{matrix}0 \\ α \\ 0 \\ 0 \\ 1+α \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ α \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ α+1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ α \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ die inhomogene Lösung.

Aufgabe 37. Die in den Erzeugnissen angegebenen erzeugenden Tupel der Untervektorräume werden als Spaltenvektoren in die Matrizen Ū ∈ F_{8}^{5×4} und V̄ ∈ F_{8}^{5×3} geschrieben. Ist (Ū|V̄) ( \begin{matrix}x \\ — \\ y \end{matrix} ) = Ūx + V̄ y = 0

mit x ∈ F_{8}^{4} und y ∈ F_{8}^{3}, so ist V̄ y = Ūx ∈ U ∩ V. Die Matrix (Ū|V̄) wird in Zeilenstufenform zu

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & β & β^{2}+1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & β^{2}+β & β^{2}+β+1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & β^{2} & β^{2}+β+1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & β^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & β^{2}+β+1 \end{matrix} ).

Damit ist \{z ∈ F_{8}^{7} | (Ū|V̄)z = 0\} = ⟨( \begin{matrix}β \\ β^{2}+β \\ β^{2} \\ β^{2} \\ — \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}β^{2}+1 \\ β^{2}+β+1 \\ β^{2}+β+1 \\ 0 \\ — \\ β^{2}+β+1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩.

Also ist U ∩ V = ⟨V̄ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , V̄ ( \begin{matrix}β^{2}+β+1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩ = ⟨( \begin{matrix}β \\ β^{2} \\ β+1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}β \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ β^{2}+β+1 \end{matrix} )⟩.

Aufgabe 38.

(1) Seien n ≥ 1 und σ ∈ S_{n} gegeben. Dann ist σ = ∏ τ_{i} ein Produkt von Transpositionen, und da S_{n} ⟶^{π} GL(K^{n}) (für einen beliebigen Körper K) ein Gruppenmorphismus ist, gilt für die Permutationsmatrix π(ρ) = ∏ π(τ_{i}). Also genügt es, die Aussage für eine Transposition zu zeigen. Anstelle τ = (k, l) mit k, l ∈ [1, n] und k < l zu betrachten, reicht es, nach Umnumerierung, τ = (1, 2) ∈ S_{2} zu untersuchen.

Es ist ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = E_{1,2}(−1)E_{2,1}(1)E_{1,2}(−1) diag(1, −1) = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ).

(2) Das Bild des injektiven Gruppenmorphismus S_{n} ⟶^{π} GL_{n}(K) ist eine Untergruppe von GL_{n}(F_{p}). Damit gilt #S_{n} = n! teilt # GL_{n}(F_{p}) = (p^{n} −p^{0})(p^{n} −p^{1}) ⋯ (p^{n} −p^{n−1}) (vgl. Aufgaben 4.(1), 2.(4) und 30.(1)).