Blatt #9, 12. Dez. 2002 Abgabe bis 19. Dez. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 34 (2+2+4 Punkte). Seien K ein Körper und m, n ≥ 1.

(1) Zeige, daß auf K^{m×n} durch A ∼ B ⇔ ∃S ∈ GL_{m}(K), ∃T ∈ GL_{n}(K) mit B = SAT eine Äquivalenzrelation definiert ist, und gib ein Repräsentantensystem an.

(2) Zeige, daß auf K^{n×n} durch A ∼ B ⇔ ∃S ∈ GL_{n}(K) mit B = S^{−1}AS eine Äquivalenzrelation definiert ist. (Äquivalente Matrizen A ∼ B heißen auch ähnlich.)

(3) Gib die Ähnlichkeitsklassen für die Ähnlichkeitsrelation aus (2) auf K^{n×n} = F_{3}^{2×2} an. Wähle ein Repräsentantensystem aus. (Hinweis: Es gibt 12 Ähnlichkeitsklassen).

Aufgabe 35 (4*2 Punkte).

Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und V ⟶^{f} W ein lineare Abbildung. Seien \underline{x}, \underline{x}′ Basen von V und \underline{y}, \underline{y}′ Basen von W. Berechne jeweils A(f)_{\underline{y}′,\underline{x}′}.

(1) K = R, V = W = R^{2}, \underline{x} = \underline{y} = (( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )) die Standardbasis von R^{2},

\underline{x}′ = \underline{y}′ = (( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )), A(f)_{\underline{x},\underline{x}} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ).

(2) K = R, V = R^{3}, W = R^{4}, \underline{x} die Standardbasis von R^{3}, \underline{y} die Standardbasis von R^{4},

\underline{x}′ = (( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} )), \underline{y}′ = (( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} )), A(f)_{\underline{y},\underline{x}} = ( \begin{matrix}0 & −1 & 2 \\ −1 & 2 & −1 \\ 1 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \end{matrix} ).

(3) K = C, V = W = C^{3}, \underline{x} = \underline{y} = (( \begin{matrix}i \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1+i \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )),

\underline{x}′ = \underline{y}′ = (( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −i \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1−i \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )), A(f)_{\underline{x},\underline{x}} = ( \begin{matrix}1+i & 1+3i & 2 \\ i & −2 & 0 \\ \frac{1}{2} (1−i) & 3 & 1−i \end{matrix} ).

(4) K = F_{7}, V = W = F_{7}^{4}, \underline{x} = \underline{y} die Standardbasis von F_{7}^{4},

\underline{x}′ = \underline{y}′ = (( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 4 \\ 0 \\ 6 \end{matrix} )), A(f)_{\underline{x},\underline{x}} = ( \begin{matrix}0 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 6 & 0 \end{matrix} ).

Aufgabe 36 (3*2 Punkte). Seien K ein Körper, n, m ≥ 1, A ∈ K^{m×n}, b ∈ K^{m}. Gib jeweils {x ∈ K^{n} | Ax = 0} = ⟨x_{1;1}, …, x_{1;l}⟩ mit (x_{1;1}, …, x_{1;l}) linear unabhängig und {x ∈ K^{n} | Ax = b} = x_{0} + ⟨x_{1;1}, …, x_{1;l}⟩ an.

(1) K = R, A = ( \begin{matrix}2 & 6 & −3 \\ −1 & −3 & 4 \end{matrix} ), b = ( \begin{matrix}−1 \\ 3 \end{matrix} ).

(2) K = F_{5}, A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 4 & 1 \end{matrix} ), b = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ).

(3) K = F_{4}, A = ( \begin{matrix}0 & α & α+1 & 1 & 1 & 0 & α \\ 0 & 1 & α & α+1 & α & α & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & α+1 \end{matrix} ), b = ( \begin{matrix}0 \\ α+1 \\ 0 \end{matrix} ).

Aufgabe 37 (3 Punkte). Seien U, V ⩽ F_{8}^{5} Untervektorräume von F_{8}^{5} über F_{8} mit

U = ⟨( \begin{matrix}0 \\ β^{2} \\ 0 \\ β \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ β^{2}+1 \\ 0 \\ β^{2} \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}β \\ β^{2}+β \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}β+1 \\ β^{2}+β+1 \\ β \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩ und V = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}β \\ β^{2} \\ β+1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}β \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )⟩.

Bestimme eine Basis von U ∩ V. (Hinweis: Zeilenstufenform.) Aufgabe 38 (2+1 Punkte).

(1) Zeige: Jede Permutationsmatrix ist Produkt von Elementarmatrizen und Diagonalmatrizen. (Hinweis: Warum genügt es, ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) zu betrachten?)

(2) Seien p eine Primzahl und n ∈ N. Zeige: n! teilt (p^{n} − p^{0})(p^{n} − p^{1}) ⋯ (p^{n} − p^{n−1}). (Hinweis: #S_{n} = n!)

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/meister/WS02/