Blatt #8, 5. Dez. 2002 Abgabe bis 12. Dez. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Klausur I am 13.12.02 von 18 bis 21 Uhr, Hilfsmittel: 1 Blatt DIN A4. Hörsaaleinteilung (nach Nachnamen sortiert): H22: A-Ho, H4/5: Hp-Ro, H3: Rp-Stro, H20: Strp-Z.

Aufgabe 29 (3*2 Punkte). Berechne jeweils ABC, C^{t}B^{t}A^{t} und AA^{t}ABB^{t}.

(1) K = R, A = (^{1} ^{2} ), B = ( \begin{matrix}2 & −3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} ), C = ( \begin{matrix}−5 & 2 \\ 0 & 4 \\ 5 & −3 \end{matrix} ).

(2) K = C, A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1+i & 3i \\ −5i & 0 & 0 & i \\ i & 0 & −3+2i & 2i \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}i & 1 \\ 1 & −i \\ 2+i & 1−2i \\ 1 & −i \end{matrix} ), C = ( \begin{matrix}3i & −1 & 0 \\ 3 & i & 0 \end{matrix} ).

(3) K = F_{8}, A = ( \begin{matrix}1 & 0 & β+1 \\ 0 & β^{2}+1 & 1 \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}0 & 1 & β \\ β+1 & β^{2} & β^{2}+1 \\ β^{2}+β & β^{2}+β+1 & 0 \end{matrix} ), C = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ).

Aufgabe 30 (1+1+4*1.5 Punkte).

(1) Sei K ein endlicher Körper mit #K = q Elementen, und sei n ≥ 1. Berechne die Anzahl # GL_{n}(K) der regulären Matrizen in K^{n×n}. (Hinweis: Wähle erste Spalte geeignet, wähle dann zweite Spalte geeignet, usw.)

(2) Sei K ein endlicher Körper und A ∈ GL_{n}(K) eine reguläre Matrix. Zeige: ∃k ≥ 1 mit A^{k} = E.

(3) Berechne jeweils die Ordnung von A.

(a) A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(F_{2}).

(b) A = ( \begin{matrix}0 & ι \\ ι & ι+1 \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(F_{9}).

(c) A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ) ∈ GL_{3}(F_{3}).

(d) Gib ein Element der Ordnung 5 in GL_{2}(F_{4}) an. Gibt es ein solches Element bereits in

der Untergruppe GL_{2}(F_{2})?

Aufgabe 31 (2 Punkte). Sei K ein Körper.

(1) Für n ≥ 0, λ ∈ K und A = ( \begin{matrix}λ & 1 \\ & λ & 1 \\ & & λ & 1 \\ & & & λ \end{matrix} ) ∈ K^{4×4} berechne A^{n}. (Hinweis: Induktion.)

(2) Sei A = ( \begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix} ) ∈ K^{2×2}. Zeige: A^{2} − (a_{1,1} + a_{2,2})A + (a_{1,1}a_{2,2} − a_{1,2}a_{2,1})E = 0.

Gib im Falle a_{1,1}a_{2,2} − a_{1,2}a_{2,1} ≠ 0 ein B ∈ K^{2×2} mit AB = BA = E an.

(B ist also das multiplikativ Inverse zu A). Aufgabe 32 (3*2 Punkte).

Seien V, W und Y Vektorräume über einem Körper K und V ⟶^{f} W ⟶^{g} Y lineare Abbildungen. Gib in geeigneten Basen beschreibende Matrizen für f, g und g ∘ f an und spezifiziere jeweils, ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

(1) K = R; f : R^{2} → R^{2}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}ξ_{1}+ξ_{2} \\ ξ_{1} \end{matrix} ); g : R^{2} → R^{1}, ( \begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix} ) ↦ (η_{1} − η_{2}).

(2) K = C; f : C^{3} → C^{4}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}ξ_{1}+2ξ_{2}+3ξ_{3} \\ 4ξ_{2} \\ −ξ_{1}+iξ_{2}−2ξ_{3} \\ ξ_{3} \end{matrix} ); g : C^{4} → C^{2}, ( \begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \\ η_{3} \\ η_{4} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}η_{1}+iη_{2} \\ iη_{1}−η_{2} \end{matrix} ).

(3) K = F_{2}; f : F_{8} → F_{8}, ξ ↦ ξ^{2}; g = f. Aufgabe 33 (5 Punkte). Seien K ein Körper, n ≥ 1 und A ∈ K^{n×n} eine quadratische Matrix. Zeige, oder widerlege durch Angabe eines Gegenbeispiels.

(1) A^{2} = A ⇔ A ∈ {0, E}.

(2) Sei K = R. Entscheide: A^{t}A = 0 ⇔ A = 0.

(3) Wie (2), nur K = C.

(4) (AB = BA für alle B ∈ K^{n×n}) ⇔ (∃λ ∈ K mit A = λE).

(5) Sei f : K^{n×n} → K linear und bezeichne Tr((c_{i,j})_{i,j}) := ∑_{i=1}^{n} c_{i,i} die Spur einer quadratischen

Matrix (c_{i,j})_{i,j} ∈ K^{n×n}. Entscheide:
(f(AB) = f(BA) für alle A, B ∈ K^{n×n}) ⇔ (∃λ ∈ K mit f = λ Tr).

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