Blatt #7, 28. Nov. 2002 Abgabe bis 5. Dez. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 25 (6 Punkte). Seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Entscheide, ob die

Abbildung V ⟶^{f} W (bzw. V ⟶^{φ} W) linear ist. Begründe.

(1) K = R, f : R^{2} → R^{3}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}ξ_{1}+ξ_{2} \\ 0 \\ −ξ_{1}−ξ_{2} \end{matrix} ).

(2) K = R, f : R^{3} → R^{2}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}ξ_{1}+ξ_{2}+ξ_{3} \\ ξ_{1}+ξ_{2}^{2}+ξ_{3}^{4} \end{matrix} ).

(3) K = F_{2}, f : F_{8}^{3} → F_{8}^{2}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}ξ_{1}+ξ_{2}+ξ_{3} \\ ξ_{1}+ξ_{2}^{2}+ξ_{3}^{4} \end{matrix} ).

(4) K = C, φ : C[X] → C[X], g(X) ↦ g(X^{3}) + g′(X) + X^{3}g(X) − g(1).

(5) K = F_{9}, φ : F_{9}[X] → F_{9}[X], g(X) ↦ g(X)^{3} − g(X^{3}).

(6) K beliebig, T ⩽V, U ⩽ V mit T ∩ U = 0, f : T ⊕ U → T, (t + u) ↦ t, wobei t ∈ T und u ∈ U.

Aufgabe 26 (6 * 1.5 Punkte). Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und V ⟶^{f} W eine lineare Abbildung. Gib eine Basis von Kern f und eine Basis von Im f an. Entscheide, ob f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Begründe.

(1) K = R, f : R^{2} → R^{2}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}ξ_{1}+ξ_{2} \\ −ξ_{1}−ξ_{2} \end{matrix} ).

(2) K = R, f : C^{1} → C^{1}, (ξ) ↦ (iξ).

(3) K = C, f : C^{3} → C^{2}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}ξ_{1}+iξ_{3} \\ ξ_{3}+iξ_{2} \end{matrix} ).

(4) K = F_{5}, f : F_{5}^{3} → F_{5}^{3}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}2ξ_{1}+ξ_{2}+ξ_{3} \\ ξ_{1}+3ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ).

(5) K = F_{4}, f : F_{4}^{3} → F_{4}^{2}, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}(α+1)ξ_{1}+αξ_{2}+ξ_{3} \\ αξ_{1}+(α+1)ξ_{3} \end{matrix} ).

(6) K = F_{2}, f : F_{2}[X]/X^{2}F_{2}[X] → F_{2}[X]/X^{2}F_{2}[X], g(X) ↦ g(X)^{2}. Aufgabe 27 (5 Punkte). Seien V, W und Y Vektorräume über einem Körper K. Seien die Abbildungen f : V → W und g : W → Y linear. Zeige, oder widerlege durch Angabe eines Gegenbeispiels.

(1) Kern f ⊆ Kern(g ∘ f).

(2) Sei g injektiv. Entscheide: dim W + dim Im(g ∘ f) = dim Im f + dim Im g.

(3) dim(Kern g ∩ Im f) + dim Kern f = dim Kern(g ∘ f).

(4) dim(Im(g ∘ f)) + dim W = dim Im f + dim Im g.

(5) Sei V = W und f^{2} := f ∘ f. Entscheide: f^{2} = f ⇒ V = Kern f ⊕ Im f. Aufgabe 28 (2+2+1+1 Punkte).

(1) Seien V und W Vektorräume über einem Körper K, f : V → W eine lineare Abbildung und U ⩽ W ein Untervektorraum von W. Zeige:

(a) f^{−1}(U) ⩽ V ist Untervektorraum von V.

(b) dim V + dim U = dim f^{−1}(U) + dim((Im f) + U).

(2) Gib jeweils eine lineare Abbildung f so an, daß

(a) K = R, f : R^{3} → R^{3} mit Im f = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} )⟩;

(b) K = F_{8}, f : F_{8}^{4} → F_{8}^{3} mit Kern f = ⟨( \begin{matrix}1 \\ β \\ β+1 \\ β^{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩.

(3) Sei K ein Körper, ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix} ) ∈ K^{2}. Zeige: (( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix} )) linear abhängig ⇔ ξ_{1}η_{2} − ξ_{2}η_{1} = 0.

(4) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Sei (a_{1}, …, a_{n}) mit a_{i} ∈ V linear unabhängig

und sei b := ∑_{i=1}^{n} λ_{i}a_{i} mit λ_{i} ∈ K. Zeige: (b−a_{1}, …, b−a_{n}) linear abhängig ⇔ ∑_{i=1}^{n} λ_{i} = 1. http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/meister/WS02/