Blatt #6, 21. Nov. 2002 Abgabe bis 28. Nov. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 20 (4 * 1.5 Punkte). Sei jeweils V ein Vektorraum über einem Körper K, sei \underline{x} ein Tupel von Vektoren in V. Wähle eine Basis von ⟨\underline{x}⟩ aus und ergänze zu einer Basis von V.

(1) K = R, V = R^{3}, \underline{x} = (( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )).

(2) K = C, V = C^{4}, \underline{x} = (( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ i \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ −i \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}i \\ i+1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ i−1 \\ i+1 \end{matrix} )).

(3) K = F_{4}, V = F_{4}^{3}, \underline{x} = (( \begin{matrix}1 \\ α \\ α+1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}α+1 \\ 0 \\ α+1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ α+1 \\ α \end{matrix} )).

(4) K = F_{2}, V = F_{8}, \underline{x} = (β + 1, β^{2} + β, β^{2} + 1). Aufgabe 21 (4 Punkte). Sei jeweils V ein Vektorraum über einem Körper K. Gib die Anzahl #{U ⩽ V | dim U = m} der m-dimensionalen Untervektorräume von V an.

(1) K = R, V = R^{17},

(a) m = 0,
(b) m = 17.

(2) K = F_{2}, V = F_{2}^{2}, m = 1.

(3) K = F_{5}, V = F_{5}^{3}, m = 1.

(4) Sei p eine Primzahl. K = F_{p}, V = F_{p}^{4}, m = 2. Aufgabe 22 (3 Punkte). Sei jeweils V ein Vektorraum über einem Körper K, seien T, U, W Untervektorräume von V. Zeige, oder widerlege durch Angabe eines Gegenbeispiels.

(1) (T + U) ∩ W = (T ∩ W) + (U ∩ W).

(2) (T ∩ U) + W = (T + W) ∩ (U + W).

(3) (T ∩ U) + W = T ∩ (U + W), falls W ⊆ T. Aufgabe 23 (9 Punkte). Sei jeweils V ein Vektorraum über einem Körper K, seien T, U Untervektorräume von V. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimensionen von T, U und T ∩ U. Gib die Dimension von T + U an. Entscheide, ob die Summe T + U direkt ist.

(1) K = R, V = R^{4}, T = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩, U = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}7 \\ 4 \\ 3 \\ 6 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩.

(2) K = F_{2}, V = F_{2}^{5}, T = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩, U = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )⟩.

(3) K = F_{9}, V = F_{9}^{4}, T = ⟨( \begin{matrix}ι−1 \\ 1 \\ 1 \\ −ι \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}ι \\ ι−1 \\ ι−1 \\ ι+1 \end{matrix} )⟩, U = ⟨( \begin{matrix}ι \\ ι \\ 0 \\ −ι+1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}ι \\ ι \\ 0 \\ ι \end{matrix} )⟩.

Aufgabe 24 (3 Punkte). Sei V = C[X] aufgefaßt als Vektorraum über K = C. Für ein Polynom f(X) = ∑_{j≥0} a_{j}X^{j} ∈ C[X] sei f(iX) := ∑_{j≥0} a_{j}(iX)^{j} ∈ C[X].

\begin{aligned}T & := & \{f(X) ∈ C[X] | f(X) = f(iX)\} \\ U & := & \{g(X) ∈ C[X] | g(X) = ig(iX)\} \end{aligned}

(1) Zeige: T und U sind Untervektorräume von V.

(2) Zeige: Die Summe T + U ist direkt, d.h. T + U = T ⊕ U.

(3) Gib ein h(X) ∈ C[X] \ (T ⊕ U) an.

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