Blatt #5, 14. Nov. 2002

Aufgabe 16.

(1) Seien f, g, h ∈ K^{M}, λ, μ ∈ K.

(V 1): (V, +) ist abelsche Gruppe. (G 1): Für alle m ∈ M gilt ((f +g)+h)(m) = (f +g)(m)+ h(m) = f(m) + g(m) + h(m) = ⋯ = (f + (g + h))(m), also (f + g) + h = f + (g + h). (G 2): Die Abbildung 0 : M → K, m ↦ 0 ist neutrales Element. (G 3): Zu f ist die Abbildung (−f) : M → K, m ↦ −f(m) invers. (G 4): Für alle m ∈ M gilt (f + g)(m) = f(m) + g(m) = ⋯ = (g + f)(m), also f + g = g + f. (V 2): Für alle m ∈ M gilt (1 · f)(m) = 1 · f(m) = f(m), also 1 · f = f. (V 3): Für alle m ∈ M gilt (λ · (μ · f))(m) = λ · (μ · f)(m) = λμ · f(m) = ((λμ) · f)(m), also λ · (μ · f) = (λμ) · f. (V 4): Für alle m ∈ M gilt ((λ + μ) · f)(m) = λ · f(m) + μ · f(m) = (λ · f + μ · f)(m), also (λ + μ) · f = λ · f + μ · f. (V 5): Für alle m ∈ M gilt (λ · (f + g))(m) = λ(f + g)(m) = λf(m) + λg(m) = (λ · f)(m) + (λ · g)(m), also λ · (f + g) = λ · f + λ · g.

(2) (a) Induktion nach n.

n = 0. (f_{0}) ist linear unabhängig.

n − 1 → n. Zu zeigen ist die lineare Unabhängigkeit von (f_{0}, f_{1}, …, f_{n}). Ist also 0 = λ_{0}f_{0} + λ_{1}f_{1} + ⋯ + λ_{n}f_{n} =: g_{n}, so gilt 0 = λ_{0}x^{0} + λ_{1}x^{1} + ⋯ + λ_{n}x^{n} = g_{n}(x) für alle x ∈ R. Wähle x_{1}, …, x_{n+1} paarweise verschieden in R (hier wird #R = ∞ verwendet). Polynomdivision liefert

g_{n}(x) = (x − x_{1})g_{n−1}(x) + c

mit einer polynomialen Funktion g_{n−1} und c ∈ R. Da g_{n}(x_{1}) = 0, folgt c = 0. Weiter ist g_{n−1}(x_{2}) = ⋯ = g_{n−1}(x_{n+1}) = 0. Mit g_{n−1} und x_{2} wird dieses Verfahren wiederholt und man erhält

g_{n}(x) = (x − x_{1})(x − x_{2})g_{n−2}(x)

mit g_{n−2}(x_{3}) = ⋯ = g_{n−2}(x_{n+1}) = 0. Iteriert man das Verfahren, erhält man schließlich

g_{n}(x) = (x − x_{1}) · · · · · (x − x_{n})λ_{n}.

Da g_{n}(x_{n+1}) = 0, folgt λ_{n} = 0.

Damit gilt 0 = λ_{0}f_{0} + ⋯ + λ_{n−1}f_{n−1}, und mit der Induktionsvoraussetzung folgt dann λ_{0} = ⋯ = λ_{n−1} = 0.

(b) Nach Aufgabe 15.(3).(b) gilt x^{p} = x in F_{p}. Somit ist f_{p} − f_{1} = 0 eine nichttriviale

Linearkombination der Nullfunktion.

(3) Nach (2).(a) ist für jedes n ∈ N das Tupel (f_{0}, …, f_{n}) linear unabhängig, d.h. die Länge eines linear unabhängigen Tupels ist nicht beschränkt. Also ist R^{R} unendlichdimensional (über R).

(4) Definiere für i ∈ [1, n] die Funktionen e_{i} : [1, n] → K, j ↦ \begin{cases}1, & falls j = i, \\ 0, & sonst. \end{cases}

Ist f ∈ K^{[1,n]}, so gilt f = ∑_{i=1}^{n} f(i)e_{i}. Diese Darstellung ist eindeutig, wie man durch Einsetzen von j ∈ [1, n] sieht. Damit ist (e_{1}, …, e_{n}) eine Basis von K^{[1,n]} über K.

Aufgabe 17. (1) Linear abhängig, da ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ).

(2) Linear unabhängig, da λ_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + λ_{2} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + λ_{3} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) mit λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ R notwendig λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0 liefert.

(3) Linear abhängig, da ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ).

(4) Linear abhängig, da ( \begin{matrix}1+i \\ 2i \end{matrix} ) − (1 + i) ( \begin{matrix}1 \\ 1+i \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ).

(5) Linear unabhängig, da λ_{1} ( \begin{matrix}1+i \\ 2i \end{matrix} )+λ_{2} ( \begin{matrix}1 \\ 1+i \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) mit λ_{1}, λ_{2} ∈ R insbesondere λ_{1}(1+i)+λ_{2} = 0 ergibt, woraus λ_{1} = λ_{2} = 0 folgt.

(6) Linear abhängig, da (β + 1) ( \begin{matrix}β^{2}+β \\ 1 \\ β+1 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 \\ β+1 \\ β^{2}+1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ).

Aufgabe 18.

(1) Da − ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ), gilt y ∈ ⟨\underline{x}⟩.

(2) Da α ( \begin{matrix}α \\ α \\ α+1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}α \\ α+1 \\ α+1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ α \end{matrix} ), gilt y ∈ ⟨\underline{x}⟩.

(3) Die Gleichung λ_{1} ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ ι \end{matrix} ) + λ_{2} ( \begin{matrix}ι−1 \\ ι \\ 1 \end{matrix} ) + λ_{3} ( \begin{matrix}ι−1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ ι \end{matrix} ) mit λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ F_{9} hat keine Lösung,

da −λ_{1} +ιλ_{2} = 1 und ιλ_{1} +λ_{2} = ι implizieren, daß 0 = ι(−λ_{1} +ιλ_{2})+(ιλ_{1} +λ_{2}) = ι·1+ι ≠ 0. Also ist y ∉ ⟨\underline{x}⟩.

(4) Da ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 6 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), ist ⟨\underline{x}⟩ = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩. Die Gleichung

λ_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + λ_{2} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) mit λ_{1}, λ_{2} ∈ F_{7} hat keine Lösung. Also ist y ∉ ⟨\underline{x}⟩.

Aufgabe 19.

(1) Ist richtig. Wegen z ∈ ⟨x, y⟩ gibt es λ, μ ∈ K mit z − λx − μy = 0. Also ist (x, y, z) linear abhängig.

(2) Ist falsch. Wähle z.B. K = V = R, x = y = 0, z = 1.

(3) Ist falsch. Wähle z.B. K = R, V = R^{2}, x = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ), y = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ), z = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ).