Blatt #5, 14. Nov. 2002 Abgabe bis 21. Nov. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Marc Meister

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 16 (1+2+1+1 Punkte). Seien eine Menge M und ein Körper K gegeben. Die Menge der Abbildungen von M nach K sei mit K^{M} := {f : M → K} bezeichnet. Für f, g ∈ K^{M} und λ ∈ K seien

\begin{matrix}M & ⟶^{f+g} & K, & m ↦ (f + g)(m) := f(m) + g(m); \\ M & ⟶^{λ·f} & K, & m ↦ (λ · f)(m) := λ · f(m). \end{matrix}

(1) Zeige: (K^{M}, +, ·) ist Vektorraum über K.

(2) Sei f_{i} ∈ K^{M} definiert durch f_{i}(x) = x^{i} (polynomiale Funktion zum Polynom X^{i}). (a) Sei M = K = R. Zeige: (f_{0}, f_{1}, …, f_{n}) ist linear unabhängig für jedes n ≥ 0.

(Hinweis: Nullstellen abspalten.)

(b) Sei p eine Primzahl und M = K = F_{p}. Zeige: (f_{0}, f_{1}, …, f_{p}) ist linear abhängig.

(3) Zeige: R^{R} ist unendlichdimensional über R.

(4) Sei n ≥ 1. Sei M = [1, n] und K ein beliebiger Körper. Gib eine Basis von K^{[1,n]} über K an. Aufgabe 17 (6 * 1.5 Punkte). Sei jeweils V ein Vektorraum über einem Körper K. Entscheide, ob das jeweilige Tupel linear unabhängig ist. Begründe.

(1) K = R, V = R^{2}, (( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} )).

(2) K = R, V = R^{3}, (( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )).

(3) K = F_{2}, V = F_{2}^{3}, (( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )).

(4) K = C, V = C^{2}, (( \begin{matrix}1+i \\ 2i \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1+i \end{matrix} )).

(5) Wie (4), nur K = R. (Vektorraum mit von C auf R eingeschränkten Skalaren.)

(6) K = F_{8}, V = F_{8}^{3}, (( \begin{matrix}β^{2}+β \\ 1 \\ β+1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ β+1 \\ β^{2}+1 \end{matrix} )).

Aufgabe 18 (4 * 1.5 Punkte). Sei jeweils V ein Vektorraum über einem Körper K, sei \underline{x} ein Tupel von Vektoren in V. Ist y im Erzeugnis von \underline{x} enthalten? Begründe.

(1) K = R, V = R^{2}, \underline{x} = (( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} )), y = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ).

(2) K = F_{4}, V = F_{4}^{3}, \underline{x} = (( \begin{matrix}α \\ α \\ α+1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}α \\ α+1 \\ α+1 \end{matrix} )), y = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ α \end{matrix} ).

(3) K = F_{9}, V = F_{9}^{3}, \underline{x} = (( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ ι \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}ι−1 \\ ι \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}ι−1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )), y = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ ι \end{matrix} ).

(4) K = F_{7}, V = F_{7}^{4}, \underline{x} = (( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 6 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )), y = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ).

Aufgabe 19 (3 Punkte). Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Seien x, y, z ∈ V Vektoren. Zeige, oder widerlege durch Angabe eines Gegenbeispiels.

(1) ⟨x, y⟩ = ⟨x, z⟩ ⇒ (x, y, z) linear abhängig.

(2) (x, y, z) linear abhängig ⇒ z ∈ ⟨x, y⟩.

(3) (x, y) linear unabhängig, (y, z) linear unabhängig und (x, z) linear unabhängig ⇒ (x, y, z) linear unabhängig.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/meister/WS02/