Blatt #4, 7. Nov. 2002 Abgabe bis 14. Nov. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Marc Meister

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 13 (4 * 2 Punkte).

(1) Seien b, c ∈ R. Zeige: Ist b^{2} − 4c < 0, so ist X^{2} + bX + c ∈ R[X] irreduzibel; ist b^{2} − 4c ≥ 0, so ist es nicht irreduzibel. Zeige: C[X] enthält keine irreduziblen Polynome von Grad 2.

(2) Finde alle irreduziblen Polynome von Grad ≤ 3 in F_{2}[X] und in F_{3}[X].

(3) Finde alle irreduziblen Polynome von Grad 4 in F_{2}[X].

(4) Definiere (wie im Skript) einen Körper mit 27 Elementen. Finde darin alle Nullstellen von

X^{3} − X^{2} + 1. Aufgabe 14 (Euklidscher Algorithmus. 1+1+3 Punkte). Seien K ein Körper und f_{1}(X), f_{2}(X) ∈ K[X] gegeben. Sei

I_{f_{1},f_{2}} := {f_{1}(X)s(X) + f_{2}(X)t(X) | s(X), t(X) ∈ K[X]} ⊆ K[X]

das von f_{1} und f_{2} erzeugte Ideal.

(1) Mit Polynomdivision schreibt man

f_{1}(X) = f_{2}(X)u_{1}(X) + f_{3}(X)

mit u_{1}(X), f_{3}(X) ∈ K[X], wobei deg(f_{3}) < deg(f_{2}) oder f_{3}(X) = 0.

Zeige: I_{f_{1},f_{2}} = I_{f_{2},f_{3}}.

(2) Sei iterativ

f_{i}(X) = f_{i+1}(X)u_{i}(X) + f_{i+2}(X)

mit u_{i}(X), f_{i+2}(X) ∈ K[X] wobei deg(f_{i+2}) < deg(f_{i+1}) oder f_{i+2}(X) = 0. Letzterenfalls breche die Iteration ab; sei k maximal mit f_{k}(X) ≠ 0. Zeige: Der Algorithmus terminiert, und es ist I_{f_{1},f_{2}} = I_{f_{k},0} = f_{k}(X)K[X].

(3) Berechne mit (2) jeweils ein normiertes Polynom h(X) ∈ K[X] so, daß I_{f,g} = h(X)K[X] ist. (a) K = R, f(X) = X^{5} + 2X^{3} + X^{2} + X + 1, g(X) = X^{4} − 1.

(b) K = F_{5}, f(X) = X^{8} − 1, g(X) = X^{6} + 2X^{4} + X^{2} − 3.

(c) K = F_{4}, f(X) = X^{3} + αX^{2} + X + α, g(X) = X^{2} + (α + 1). Aufgabe 15 (4 * 2 Punkte).

(1) Berechne (a) in C: (2 + i)^{4}, (2i)^{12};

(b) in F_{4}: (1 + α)^{4}, α^{4} + α^{3} + α^{2} + α + 1;

(c) in F_{8}: (1 + β + β^{2})β^{2}, ∑_{x∈F_{8}} x;

(d) in F_{9}: (ι − 1)^{8}, ∏_{x∈F_{9}\{0}} x.

(2) Welche der folgenden Ringe sind Körper? Begründung!

(a) Q[X]/(X^{2} − 2)Q[X]

(b) R[X]/(X^{2} − 1)R[X]

(c) F_{2}[X]/(X^{12} + 1)F_{2}[X]

(d) F_{5}[X]/(X^{3} + X + 1)F_{5}[X]

(3) Zeige:

(a) Ist x + iy ∈ C \ {0} mit x, y ∈ R, so ist (x + iy)(x − iy) ∈ R \ {0}.

(b) Ist K ein endlicher Körper mit #K = q Elementen, so gilt für x ∈ K \ {0} : x^{q−1} = 1.

(4) Berechne mit (3):

(a) (1 + i)^{−1} ∈ C,

(b) (1 + β^{2})^{−1} ∈ F_{8},

(c) (ι + 1)^{−1} ∈ F_{9},

(d) (x + αy)^{−1} ∈ F_{4} mit x, y ∈ F_{2} und x + αy ≠ 0.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/meister/WS02/