Blatt #3, 31. Okt. 2002 Abgabe bis 7. Nov. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Marc Meister

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 9 (5 Punkte). Sei M eine Menge. In Aufgabe 7.(3) wurde gezeigt, daß die symmetrische Differenz auf 𝔓(M) eine abelsche Gruppe definiert. Im folgenden schreibe statt A · B nun

A + B := (A \ B) ∪ (B \ A) mit A, B ∈ 𝔓(M)

und entsprechend 0 := ∅. Bezeichne A ∩ B die übliche Schnittmenge.

(1) Zeige, daß (𝔓(M), +, ∩) ein kommutativer Ring ist.

(2) Zeige: Der Ring (𝔓(M), +, ∩) ist ein Körper genau dann, wenn #M = 1.

(3) Sei N ⊆ M eine Teilmenge. Zeige: 𝔓(N) ⊆ 𝔓(M) ist ein Ideal.

(4) Gib im Fall M = {a, b}, N = {a} die Verknüpfungstafeln des Restklassenrings (𝔓(M)/𝔓(N), +, ∩) an (eine für (+) und eine für (∩)).

(5) Sei (R, +, ·) ein beliebiger Ring.

Zeige: Gilt a · a = a für alle a ∈ R, so ist (R, +, ·) kommutativ. Aufgabe 10 (1+2+2+1 Punkte). Sei (Z/7Z, +, ·) der Restklassenring modulo 7.

(1) Gib eine Verknüpfungstafel für (+) an.

(2) Gib eine Verknüpfungstafel für (·) an.

(3) Finde alle x ∈ Z/7Z \ {0} mit

Z/7Z \ {0} = {x^{m} | m ∈ Z}.

(4) Zeige: Ist p eine Primzahl, so gilt x^{p} − x ≡_{p} 0 für alle x ∈ Z/pZ.

(Hinweis: {x^{m} | m ∈ Z} ist Untergruppe von (Z/pZ \ {0}, ·); wende Aufgabe 4.(1) an.) Aufgabe 11 (1+2+2+2+1+1 Punkte). Sei (Z/16Z, +, ·) der Restklassenring modulo 16.

(1) Berechne alle Potenzen 3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, … von 3 in Z/16Z.

(2) Berechne die Lösungsmenge {x ∈ Z/16Z | 6 · x ≡_{16} 0}.

(3) Gib alle (bzgl. der Multiplikation) invertierbaren Elemente x ∈ Z/16Z und deren Inversen an.

(4) Bestimme die Menge {x ∈ Z/16Z | x^{3} + x + 2 ≡_{16} 0}.

(5) Gib {x ∈ Z/16Z | 5 · x ≡_{16} 1} an. Bestimme damit {(x, y) ∈ Z × Z | 5 · x + 16 · y = 1}.

(6) Zeige: Eine ganze Zahl der Form 16k + 15 mit k ∈ Z ist niemals die Summe aus 14 Biquadratzahlen. Eine Zahl y ∈ Z heißt hierbei Biquadratzahl, wenn es ein x ∈ Z mit y = x^{4} gibt.

Aufgabe 12 (2 Punkte). Gegeben sei eine Menge R mit zwei Verknüpfungen (+) und (·). Seien für (R, +, ·) zunächst nur die Axiome (R 1, 3, 4) vorausgesetzt.

(1) Zeige: Für x ∈ R gilt 0 · x = x · 0 = 0.

(2) Zeige mit Hilfe von (1), daß (R, +, ·) ein Körper ist.

(Hinweis: Es ist (R 2a) zu zeigen.)

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/meister/WS02/