Blatt #2, 24. Okt. 2002 Abgabe bis 31. Okt. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Marc Meister

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 5 (4 * 2 Punkte). Gegeben sind

σ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 2 \end{matrix}) , ρ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix}) ∈ S_{5}.

(1) Gib σ, ρ, σ^{−1}, ρ^{−1} in Zykelschreibweise an.

(2) Berechne σ ∘ ρ, ρ^{−1} ∘ σ^{2}, σ^{2} ∘ ρ^{−1}.

(3) Berechne ε_{σ}, ε_{ρ}, ε_{σ∘ρ}, ε_{ρ^{−1}∘σ^{2}}, ε_{σ^{2}∘ρ^{−1}}.

(4) Bestimme die Ordnung von σ und von ρ. Aufgabe 6 (2+1+1+1 Punkte).

(1) Gib eine Verknüpfungstafel für S_{3} an, d.h. eine Tabelle der Produkte aller möglicher Paare (ρ, σ) ∈ S_{3} × S_{3} in der Form:

∘ … σ …
⋮
ρ  ρ ∘ σ
⋮

(2) Gib für alle σ ∈ S_{3} das Signum ε_{σ} und die Ordnung an.

(3) Gib alle 6 Untergruppen von S_{3} an.

(4) Sei Aut(S_{3}) die Gruppe der bijektiven Gruppenmorphismen von S_{3} nach S_{3}, mit der Komposition als Verknüpfung. Betrachte

\begin{matrix}S_{3} & ⟶^{g} & Aut(S_{3}) \\ σ & ⟼ & g_{σ} mit g_{σ} : S_{3} → S_{3}, ρ ↦ σ ∘ ρ ∘ σ^{−1}. \end{matrix}

Zeige: g ist Gruppenmorphismus, g ist injektiv, g ist surjektiv.

(Hinweis für surjektiv: Ist a ∈ Aut(S_{3}), so haben σ ∈ S_{3} und a(σ) dieselbe Ordnung.) Aufgabe 7 (1+1+2+1 Punkte). Sei M eine Menge und auf 𝔓(M) die symmetrische Differenz definiert:

\begin{matrix}𝔓(M) × 𝔓(M) & → & 𝔓(M) \\ (A, B) & ↦ & A · B := (A \ B) ∪ (B \ A). \end{matrix}

(1) Gib im Falle M = {1, 2} die Verknüpfungstafel an.

(2) Gib ein neutrales Element 1 bzgl. der symmetrischen Differenz an. Zeige, daß A^{2} = 1 für alle A ∈ 𝔓(M) gilt.

(3) Zeige, daß (𝔓(M), ·) eine abelsche Gruppe bildet.

(4) Zeige: Ist N ⊆ M, so ist 𝔓(N) eine Untergruppe von 𝔓(M). Aufgabe 8 (3 Punkte).

(1) Zeige, daß V = {1, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} ⊆ S_{4} Untergruppe ist und gib eine Verknüpfungstafel von V an.

(2) Bestimme die Elemente von U := {σ ∈ S_{4} | ε_{σ} = 1} und zeige, daß dies eine Untergruppe von S_{4} ist.

(3) Gibt es in S_{4} ein Element der Ordnung 5? Begründe die Antwort.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/meister/WS02/