Blatt #15, 6. Feb. 2003

Aufgabe 57.

(1) A ist weder hermitesch noch unitär, aber normal, da AĀ^{t} = Ā^{t}A ist. Somit ist A also unitär diagonalisierbar. Zunächst ist χ_{A}(X) = X^{2} − 25iX, und mit U = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 & 4 \\ 4 & −3 \end{matrix} ) unitär wird

Ū^{t}AU = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 25i \end{matrix}).

(2) A ist nicht normal, da AĀ^{t} ≠ Ā^{t}A ist. Damit ist A nicht unitär diagonalisierbar. Insbesondere ist A auch weder unitär noch hermitesch.

(3) A ist nicht unitär, aber hermitesch, damit auch normal, d.h. unitär diagonalisierbar. Zunächst

ist χ_{A}(X) = X(X − 4)^{3}. Mit U := \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ i & i & −i & −i \\ 1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & 1 \end{matrix} ) wird Ū^{t}AU = ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ).

Aufgabe 58.

(1) A ist indefinit, da q_{A}(( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )) = 1 > 0 und q_{A}(( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} )) = −4 < 0 ist.

(2) A ist positiv definit laut Hauptminorenkriterium, da det (^{4} ) = 4 > 0, det ( \begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) = 7 > 0, det ( \begin{matrix}4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) = 3 > 0 und det A = 2 > 0.

Aufgabe 59.

(1) Diese Aussage ist richtig. Ist A normal, so existiert eine unitäre Matrix U mit Ū^{t}AU = diag(λ_{1}, …, λ_{n}). Ist A dazuhin nilpotent, gibt es also ein m ≥ 1 mit A^{m} = 0, so folgt 0 = Ū^{t}A^{m}U = diag(λ_{1}^{m}, …, λ_{n}^{m}). Dies impliziert jedoch λ_{i} = 0 für alle i ∈ [1, n] und somit auch A = U diag(λ_{1}, …, λ_{n})Ū^{t} = 0.

(2) Diese Aussage ist falsch. Z.B. ist A = (^{0} ) zwar unitär diagonalisierbar, aber nicht unitär.

(3) Diese Aussage ist falsch. Z.B. ist A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) diagonalisierbar. Es ist A aber nicht normal und damit auch nicht unitär diagonalisierbar.

(4) Diese Aussage ist richtig. Wäre die Matrix A − iE singulär, so wäre i ein Eigenwert von A. Hermitesche Matrizen haben aber nur reelle Eigenwerte.

(5) Diese Aussage ist richtig. Da A normal und damit unitär diagonalisierbar ist, existiert eine Orthonormalbasis von C^{n} aus Eigenvektoren. Sei die geometrische Vielfachheit von λ gleich l, die von μ gleich m. Dann gibt es paarweise verschiedene Vektoren u_{1}, …, u_{l} (mit Eigenwert λ), v_{1}, …, v_{m} (mit Eigenwert μ) aus dieser Orthonormalbasis mit x = ∑_{j∈[1,l]} α_{j}u_{j} und y = ∑_{k∈[1,m]} β_{k}v_{k}. Damit wird

x̄^{t}y = \overline{(∑_{j∈[1,l]} α_{j}u_{j})}^{t} ∑_{k∈[1,m]} β_{k}v_{k}
= ∑_{j∈[1,l]} ∑_{k∈[1,m]} ᾱ_{j}β_{k} \underbrace{ū_{j}^{t}v_{k}}_{= 0}
= 0 .

Aufgabe 60.

(1) Sei (u_{1}, …, u_{n}) eine Orthonormalbasis von C^{n} mit Au_{j} = λ_{j}u_{j} für j ∈ [1, n]. Es ist nun λ der betragsgrößte Eigenwert von A, d.h. es ist |λ| ≥ |λ_{j}| für j ∈ [1, n]. Schreiben wir x ∈ C^{n} als x = ∑_{j∈[1,n]} α_{j}u_{j}, so wird

∥Ax∥^{2} = ∥ ∑_{j∈[1,n]} α_{j}Au_{j}∥^{2}
= ∥ ∑_{j∈[1,n]} α_{j}λ_{j}u_{j}∥^{2}
= (∑_{k∈[1,n]} ᾱ_{k}λ̄_{k}ū_{k}^{t}) (∑_{j∈[1,n]} α_{j}λ_{j}u_{j})
= ∑_{j∈[1,n]} |α_{j}|^{2}|λ_{j}|^{2}
≤ |λ|^{2} ∑_{j∈[1,n]} |α_{j}|^{2}
= (|λ|∥x∥)^{2} ,

woraus die Behauptung folgt.

(2) Mit

\overline{(AB)}^{t}(AB) = B̄^{t}Ā^{t}AB = B̄^{t}AĀ^{t}B = AB̄^{t}\overline{(B̄^{t}A)}^{t} = AB̄^{t}\overline{(AB̄^{t})}^{t} = AB̄^{t}BĀ^{t} = ABB̄^{t}Ā^{t} = (AB)\overline{(AB)}^{t}

ist auch AB normal. Aus

∥ABx∥ ≤ ∥A∥∥Bx∥ ≤ ∥A∥∥B∥∥x∥

folgt, daß ∥A∥∥B∥ eine obere Schranke von {∥ABx∥ | x ∈ C^{n}, ∥x∥ = 1} ist, und somit ∥AB∥ = max{∥ABx∥ | x ∈ C^{n}, ∥x∥ = 1} ≤ ∥A∥∥B∥.

(3) Wähle z.B. A := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) und B := ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Dann ist AB̄^{t} = 0 = B̄^{t}A, und also insbesondere

∥AB∥ = 0 < 1 · 1 = ∥A∥ · ∥B∥ .

Aufgabe 61.

(1) Da A hermitesch ist, existiert eine unitäre Matrix U mit Ū^{t}AU = diag(λ_{1}, …, λ_{n}). Da A zudem positiv definit ist, sind alle λ_{j} > 0. Wähle nun B := U diag(\sqrt{λ_{1}}, …, \sqrt{λ_{n}})Ū^{t}. Dann ist B hermitesch mit allen Eigenwerten \sqrt{λ_{j}} positiv, d.h. auch B ist positiv definit. Ferner wird B^{2} = U diag(\sqrt{λ_{1}}, …, \sqrt{λ_{n}})^{2}Ū^{t} = U diag(λ_{1}, …, λ_{n})Ū^{t} = A, wie verlangt.

Die Eindeutigkeit ist etwas aufwendiger zu zeigen. Aber um wirklich eine wohldefinierte Wurzel von A zu haben, hier das Argument.

Sind B und B̃ positiv definite hermitesche Matrizen mit B^{2} = B̃^{2} = A, so wollen wir B = B̃ zeigen. Nach unitärer Diagonalisierung von B̃ dürfen wir B̃ und A als Diagonalmatrizen mit positiven reellen Diagonaleinträgen voraussetzen, und haben zu zeigen, daß eine positiv definite hermitesche Matrix B, die im Quadrat eine Diagonalmatrix A ergibt, bereits selbst eine Diagonalmatrix ist. Hierzu dürfen wir ferner annehmen, daß übereinstimmende Diagonaleinträge in A zusammensortiert sind, d.h. daß A = diag(d_{1}, …, d_{1}, d_{2}, …, d_{2}, d_{3}, …) mit d_{j} ≠ d_{k} für j ≠ k.

Sei nun V unitär mit V̄^{t}BV =: C diagonal. Die Eigenwerte von C^{2} sind die Eigenwerte von A, d.h. wir dürfen mit geeigneter Sortierung der Spalten von V annehmen, daß C = diag(c_{1}, …, c_{1}, c_{2}, …, c_{2}, c_{3}, …), wobei c_{j} > 0 und c_{j}^{2} = d_{j} stets. Insbesondere ist bereits C^{2} = A.

Aus V AV̄^{t} = V C^{2}V̄^{t} = B^{2} = A folgt nun V A = AV. Damit ist V eine Blockdiagonalmatrix mit Blockeinteilung entsprechend der Einteilung der Diagonale von A in übereinstimmende Einträge. Insbesondere ist B = V CV̄^{t} = C diagonal.

(2) Wegen x̄^{t}C̄^{t}Cx = ∥Cx∥^{2} stets und C regulär ist C̄^{t}C positiv definit hermitesch. Sei nun P := \sqrt{C̄^{t}C}. Wir müssen mit diesem Ansatz nun U := CP^{−1} setzen, und es bleibt zu zeigen, daß U unitär ist. In der Tat wird

Ū^{t}U = \overline{CP^{−1}}^{t} · CP^{−1} = \overline{P^{−1}}^{t}C̄^{t}CP^{−1} = \overline{P^{−1}}^{t}P^{2}P^{−1} = \overline{P^{−1}}^{t}P̄^{t}P P^{−1} = E .

Nun zur Eindeutigkeit. Ist C = UP mit U unitär und P positiv hermitesch vorgegeben, so folgt P^{2} = C̄^{t}C, somit auch P = \sqrt{C̄^{t}C} nach (1), und schließlich U = CP^{−1}.

(3) Mit U = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}2 & −2 & −1 \\ 1 & 2 & −2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} ) unitär und P = ( \begin{matrix}9 & 3 & 3 \\ 3 & 6 & 0 \\ 3 & 0 & 6 \end{matrix} ) positiv definit hermitesch wird C = UP.