Blatt #15, 6. Feb. 2003 Abgabe bis 13. Feb. 2003, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Norbert Renz

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Klausur II am 14.02.03 von 18 bis 22 Uhr, Hilfsmittel: 1 Blatt DIN A4. Hörsaaleinteilung (nach Nachnamen sortiert): H22: A-Kas, H3: Kat-M, H4/5: N-Z.

Aufgabe 57 (10 Punkte). Sei A ∈ C^{n×n}. Entscheide, ob A normal, unitär oder hermitesch ist. Diagonalisiere unitär, falls möglich.

(1) A = ( \begin{matrix}16i & −12i \\ −12i & 9i \end{matrix} ).

(2) A = ( \begin{matrix}1 & i & 0 \\ i & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ).

(3) A = ( \begin{matrix}3 & −i & 1 & −1 \\ i & 3 & −i & i \\ 1 & i & 3 & 1 \\ −1 & −i & 1 & 3 \end{matrix} ).

Aufgabe 58 (6 Punkte). Untersuche die hermitesche Matrix A ∈ C^{n×n} auf Definitheit.

(1) A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & i \\ 3 & −i & 1 \end{matrix} ).

(2) A = ( \begin{matrix}4 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & i \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & −i & 1 & 4 \end{matrix} ).

Aufgabe 59 (5 Punkte). Sei A ∈ C^{n×n}. Zeige oder widerlege.

(1) Ist A normal und nilpotent, so ist A = 0.

(2) Ist A unitär diagonalisierbar, so ist A unitär und diagonalisierbar.

(3) Ist A unitär oder diagonalisierbar, so ist A unitär diagonalisierbar.

(4) Ist A hermitesch, so ist die Matrix A − iE regulär.

(5) Sei A normal. Ist x Eigenvektor zum Eigenwert λ und y Eigenvektor zum Eigenwert μ, und gilt μ ≠ λ, so ist x̄^{t}y = 0.

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Die folgenden beiden Aufgaben sind nicht klausurrelevant. Sie sollen, wo nötig, zum Füllen des Punktekontos verwandt werden. Aufgabe 60 (9 Zusatzpunkte). Sei A ∈ C^{n×n} normal, λ der dem Betrag nach größte Eigenwert von A und y ∈ C^{n} zugehöriger Eigenvektor mit ∥y∥ = 1. Definiere die Matrixnorm von A als ∥A∥ := |λ|.

(1) Zeige: ∥Ax∥ ≤ ∥A∥·∥x∥ für alle x ∈ C^{n}. (Hinweis: Schreibe x als Linearkombination orthonormaler Eigenvektoren.) Insbesondere ist wegen ∥Ay∥ = ∥A∥ auch ∥A∥ = max{∥Ax∥ | x ∈ C^{n}, ∥x∥ = 1}.

(2) Seien A, B ∈ C^{n×n} normal mit AB̄^{t} = B̄^{t}A. Zeige: AB ist normal, und es ist ∥AB∥ ≤ ∥A∥ · ∥B∥.

(3) Finde zwei normale Matrizen A, B ∈ C^{n×n} mit AB̄^{t} = B̄^{t}A und ∥AB∥ < ∥A∥ · ∥B∥. Aufgabe 61 (9 Zusatzpunkte).

(1) Sei A ∈ C^{n×n} hermitesch und positiv definit. Zeige, daß eine positiv definite hermitesche Matrix B ∈ C^{n×n} mit B^{2} = A existiert. Man kann weiter zeigen (hier nicht verlangt), daß B =: \sqrt{A} dadurch auch eindeutig bestimmt ist.

(2) Sei C ∈ GL_{n}(C). Zeige: Es existiert genau eine unitäre Matrix U und genau eine positiv definite hermitesche Matrix P mit C = UP. (Hinweis: Zeige, daß C̄^{t}C positiv definit hermitesch und U := C(\sqrt{C̄^{t}C})^{−1} unitär.)

(3) Zerlege C = ( \begin{matrix}3 & −2 & 0 \\ 3 & 5 & −3 \\ 9 & 4 & 6 \end{matrix} ) ∈ C^{3×3} in ein Produkt C = UP einer unitären Matrix U mit einer positiv definiten hermiteschen Matrix P.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/kuenzer/WS02/