Blatt #14, 30. Jan. 2003 Abgabe bis 6. Feb. 2003, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Norbert Renz

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 54 (12.5 Punkte). Entscheide, für welche Parameter a, b, c ∈ C die Matrix A ∈ C^{n×n} normal, unitär bzw. hermitesch ist.

(1) A := ( \begin{matrix}0 & 2 \\ −2 & 0 \end{matrix} ) (kein Parameter).

(2) A := ( \begin{matrix}1 & i & 3 \\ −i & −2 & 1+i \\ 3 & 1−i & 1 \end{matrix} ) (kein Parameter).

(3) A := ( \begin{matrix}0 & i \\ −1 & a \end{matrix} ).

(4) A := a ( \begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 1 & c & −2 \\ 2 & b & −1 \end{matrix} ).

(5) A := ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ).

Aufgabe 55 (1+4+4 Punkte). Sei U ≤ C^{n}. Gib eine Orthonormalbasis von U an. Berechne weiter eine Orthonormalbasis von U^{⊥} := {x ∈ C^{n} | ȳ^{t}x = 0 ∀ y ∈ U}. (Hinweis: ergänze zunächst zu Basis von C^{n}, wende Gram-Schmidt an und teile die erhaltene Basis in Basen von U und von U^{⊥}.)

(1) Zeige, zunächst, daß mit obiger Definition allgemein U^{⊥} ein Untervektorraum von C^{n} wird.

(2) Sei U = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ i \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ ≤ C^{3}.

(3) Sei U = ⟨( \begin{matrix}1 \\ i \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −i \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} )⟩ ≤ C^{5}.

Aufgabe 56 (8 Punkte). Seien A, B ∈ C^{n×n}. Zeige oder widerlege.

(1) Ist A von der Form A = C̄^{t}C für ein C ∈ C^{m×n}, so ist A hermitesch.

(2) Für r ∈ R ist die Matrix r(A + Ā^{t}) hermitesch.

(3) Sind A, B hermitesch, so ist AB normal.

(4) Jede Permutationsmatrix ist unitär.

(5) Für jedes x ∈ C^{n} mit ∥x∥ = 1 gibt es eine unitäre Matrix A so, daß x eine Spalte dieser Matrix ist.

(6) Ist A hermitesch, und ist λ ein Eigenwert von A, so ist λ ∈ R.

(7) Für x, y ∈ C^{n} ist ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.

(8) Die Matrix A ist genau dann unitär, wenn ∥Ax∥ = ∥x∥ für alle x ∈ C^{n}.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/kuenzer/WS02/