Blatt #13, 23. Jan. 2003 Abgabe bis 30. Jan. 2003, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Norbert Renz

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 51 (1+4+4+4+8 Punkte).

Sei n ≥ 1, sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, und sei A ∈ K^{n×n}.

(1) Zeige: μ_{S^{−1}AS}(X) = μ_{A}(X) für S ∈ GL_{n}(K). (Hinweis: Wieso genügt es, μ_{A}(S^{−1}AS) = 0 und μ_{S^{−1}AS}(A) = 0 zu zeigen?)

(2) Sei K = C. Bestimme das charakteristische Polynom χ_{A}(X), die Jordansche Normalform von A, Basen der Eigen- und Haupträume von A und das Minimalpolynom μ_{A}(X).

(a) A := ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ).

(b) A := ( \begin{matrix}0 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix} ).

(c) A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ).

(d) A := ( \begin{matrix}−1 & 1−i & 0 & −1+i & −i \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & −1 \\ 1 & i−2 & −1 & 1−i & i−2 \\ 1 & −1 & −1 & 1 & −2 \end{matrix} ).

(Hinweis: X + i teilt χ_{A}(X).)

Aufgabe 52 (12 Punkte).

(1) Berechne A^{m} für m ≥ 1 über die Jordansche Normalform B = S^{−1}AS.

(a) A := ( \begin{matrix}3 & −1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ).

(b) A := ( \begin{matrix}−1 & 1 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & −1 \\ 2 & −1 & 3 & −2 \\ 1 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ).

(Hinweis: Verwende A^{m} = SB^{m}S^{−1}.)

(2) Berechne a_{m} für m ≥ 1.

(a) a_{0} = 1, a_{1} = 1, a_{m} = a_{m−1} + 6a_{m−2}. (Hinweis: Bestimme zunächst A ∈ C^{2×2} so, dass ( \begin{matrix}a_{m} \\ a_{m−1} \end{matrix} ) = A ( \begin{matrix}a_{m−1} \\ a_{m−2} \end{matrix} ). Bestimme dann B := S^{−1}AS in Jordanscher Normalform und berechne ( \begin{matrix}a_{m} \\ a_{m−1} \end{matrix} ) = A^{m−1} ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{0} \end{matrix} ) = SB^{m−1}S^{−1} ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{0} \end{matrix} ).)

(b) a_{0} = 1, a_{1} = 1, a_{2} = 0, a_{m} = 3a_{m−1} − 3a_{m−2} + a_{m−3}. (Hinweis: analog zu (a), nur A ∈ C^{3×3}.)

Aufgabe 53 (5 Punkte).

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, und sei A ∈ K^{n×n}. Zeige oder widerlege:

(1) Das Produkt der Hauptdiagonaleinträge von A ist invariant unter Konjugation.

(2) Sei λ ein Eigenwert von A. Die algebraische Vielfachheit von λ ist gleich n und die geometrische gleich 1 genau dann, wenn es ein S ∈ GL_{n}(K) gibt mit S^{−1}AS = λE_{n} + N_{n}.

(3) Das Produkt diagonalisierbarer Matrizen ist diagonalisierbar.

(4) Sei A ∈ GL_{n}(K), und sei χ_{A}(X) := ∑_{i∈[1,n]} h_{i}X^{i}. Dann ist χ_{A^{−1}}(X) = \frac{1}{h_{0}} ∑_{i∈[0,n]} h_{n−i}X^{i}.

(5) Sei K = C, und sei die Matrix A−E nilpotent. Dann gibt es ein U ∈ GL_{n}(K) mit U^{−1}A^{2}U = A.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/kuenzer/WS02/