Blatt #12, 16. Jan. 2003

Aufgabe 48.

(1) Es ist χ_{A}(X) = (X − 1)^{2}. Damit ergibt sich der Eigenwert λ = 1 mit algebraischer Vielfachheit 2. Der Eigenraum zu λ = 1 ergibt sich zu E_{A}(1) = Kern(1E − A) = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )⟩. Damit ist die geometrische Vielfachheit dieses Eigenwerts 1. Der Hauptraum ergibt sich zu H_{A}(1) = Kern(1E − A)^{2} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )⟩ = C^{2}. Damit ist l = 2.

(2) Es ist χ_{A}(X) = (X − 1)(X − 2). Damit ergeben sich die Eigenwerte λ_{1} = 1 und λ_{2} = 2, jeweils mit algebraischer Vielfachheit 1. Der Eigenraum zu λ_{1} = 1 ergibt sich zu E_{A}(1) = Kern(1E − A) = ⟨( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} )⟩. Der Eigenraum zu λ_{2} = 2 ergibt sich zu E_{A}(2) = Kern(2E −A) = ⟨( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )⟩. Damit ist die geometrische Vielfachheit jeweils 1. Da in jedem Fall die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist, ergeben sich die Haupträume zu H_{A}(λ_{i}) = E_{A}(λ_{i}). Damit ist l_{1} = l_{2} = 1. Zur Probe sieht man, dass (( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )) eine Basis von C^{2} ist. Bemerkung: Mit S := ( \begin{matrix}3 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} ) wird S^{−1}AS = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ).

(3) Es ist χ_{A}(X) = (X +1)^{2}(X −i). Damit ergeben sich die Eigenwerte λ_{1} = −1 mit algebraischer Vielfachheit 2 und λ_{2} = i mit algebraischer Vielfachheit 1. Der Eigenraum zu λ_{1} = −1 ergibt sich zu E_{A}(−1) = Kern(−1E − A) = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩. Damit hat λ_{1} die geometrische Vielfachheit 1.

Der Hauptraum zu λ_{1} = −1 ergibt sich zu H_{A}(−1) = Kern(−1E − A)^{2} = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )⟩. Damit ist l_{1} = 2. Der Eigenraum zu λ_{2} = i ergibt sich zu E_{A}(i) = Kern(iE − A) = ⟨( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} )⟩, λ_{2} = i hat also die geometrische Vielfachheit 1. Es ist H_{A}(i) = E_{A}(i), da algebraische Vielfachheit gleich geometrische Vielfachheit. Es gilt l_{2} = 1. Zur Probe sieht man, dass (( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} )) eine

Basis von C^{3} ist.

Bemerkung: Mit S := ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) wird S^{−1}AS = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & i \end{matrix} ).

(4) Es ist χ_{A}(X) = X^{3} + 6X^{2} + 12X + 8 = (X + 2)^{3}. Damit ergibt sich der Eigenwert λ = −2 mit algebraischer Vielfachheit 3. Der Eigenraum ist E_{A}(−2) = Kern(−2E −A) = ⟨( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ und

somit ist die geometrische Vielfachheit 1. Der Hauptraum ist H_{A}(−2) = Kern(−2E − A)^{3} =

⟨( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩ = C^{3}. Damit ist l = 3.

Bemerkung: Mit S := ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) wird S^{−1}AS = ( \begin{matrix}−2 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 1 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} ).

(5) Es ist χ_{A}(X) = (X − 1)(X + 1)^{3}. Damit ergeben sich die Eigenwerte λ_{1} = 1 mit algebraischer Vielfachheit 1 und λ_{2} = −1 mit algebraischer Vielfachheit 3. Der Eigenraum zu λ_{1} = 1 ergibt

sich zu E_{A}(1) = Kern(1E − A) = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩, und somit hat λ_{1} = 1 die geometrische Vielfachheit

1. Wegen algebraischer Vielfachheit gleich geometrischer Vielfachheit ist H_{A}(1) = E_{A}(1). Also ist l_{1} = 1.

Es gilt E_{A}(−1) = Kern(−1E − A) = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩, also hat λ_{2} die geometrische Vielfachheit

2. Der Hauptraum ist H_{A}(−1) = Kern(−1E − A)^{2} = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩ und l_{2} = 2. Zur

Probe sieht man, dass (( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )) eine Basis von C^{4} ist.

Bemerkung: Mit S := ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & −1 & 0 & 1 \end{matrix} ) wird S^{−1}AS = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ).

(6) Es ist χ_{A}(X) = (X − i)^{2}(X − 1)^{3}. Damit ergeben sich die Eigenwerte λ_{1} = i mit algebraischer Vielfachheit 2 und λ_{2} = 1 mit algebraischer Vielfachheit 3. Der Eigenraum zu λ_{1} = i ergibt

sich zu E_{A}(i) = Kern(iE − A) = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩, und somit ist die geometrische Vielfachheit dieses

Eigenwerts 1. Es ist H_{A}(i) = Kern(iE − A)^{2} = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )⟩. Damit ist l_{1} = 2.

Es gilt E_{A}(1) = Kern(1E −A) = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩, also ist die geometrische Vielfachheit von λ_{2} gleich 1.

Der Hauptraum ist H_{A}(1) = Kern(1E − A)^{3} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )⟩, und l_{2} = 3. Zur Probe

sieht man, dass (( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )) eine Basis von C^{5} ist.

Bemerkung: Mit S := ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) wird S^{−1}AS = ( \begin{matrix}i & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

Aufgabe 49.

(1, 2) Sei I := {f(X) ∈ K[X] | f(A) = 0} ⊆ K[X]. Diese Teilmenge I ist ein Ideal von K[X]. Es ist χ_{A}(X) ∈ I, also I ≠ {0}. Also gibt es ein normiertes Polynom μ_{A}(X) ∈ K[X] mit I = μ_{A}(X)K[X]. In anderen Worten, ist f(A) = 0, so teilt μ_{A}(X) das Polynom f(X). Dies zeigt, dass μ_{A}(X) die verlangten Eigenschaften erfüllt. Insbesondere folgt die Eindeutigkeit aus der Tatsache, daß wenn ein normiertes Polynom ein weiteres normiertes Polynom von gleichem Grad teilt, diese gleich sein müssen. (Unter Verwendung des Hinweises ist auch ein elementareres Vorgehen möglich.)

(3) Es ist χ_{A}(X) = (X − 1)^{3} und μ_{A}(X) = (X − 1)^{2}.

(4) Es ist χ_{A}(X) = (X − 3)[(X − 2)(X − 1) − 2] = X(X − 3)^{2} und μ_{A}(X) = X(X − 3).

(5) Z.B. hat A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) das charakteristische Polynom χ_{A}(X) = (X + 1)^{4} und das

Minimalpolynom μ_{A}(X) = (X + 1)^{3}.

Aufgabe 50.

(1) Diese Aussage ist i.a. falsch. Z.B. gilt für die Matrix A = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ R^{2×2}, dass χ_{A}(X) = det(XE − A) = det ( \begin{matrix}X & 1 \\ −1 & X \end{matrix} ) = 0 ⇔ X^{2} = −1, und somit hat sie keinen Eigenwert in R.

(2) Die Aussage ist richtig, da die Determinante von A das Produkt ihrer Eigenwerte ist (zu nehmen mit algebraischen Vielfachheiten).

(3) Diese Aussage ist i.a. falsch. Z.B. hat die Matrix A := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) nur den Eigenwert λ = 1, die Matrix B := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) nur den Eigenwert μ = 1. Aber es gilt: AB = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) hat das charakteristische Polynom χ_{AB}(X) = X^{2} − 3X + 1, was an der Stelle λμ = 1 nicht verschwindet.

(4) Diese Aussage ist richtig.

Ist λ der einzige Eigenwert von A, so folgt die Behauptung mit der Aussage (ii) des Hauptzerlegungslemmas. Denn hier ist χ_{A}(X) = (X −λ_{1})^{n} und folglich K^{n} = H_{A}(λ_{1}) = Kern(A−λ_{1})^{n}. Dies impliziert (A − λ_{1})^{n} = 0. Umgekehrt: Sei x Eigenvektor zum Eigenwert μ, also (μE − A)x = 0. Zu zeigen ist: λ = μ. Es gilt: (λE − A)x = λx − Ax − (μE − A)x = λx − Ax − μx + Ax = (λ − μ)x. Somit ist 0 = (λE − A)^{n}x = (λ − μ)^{n}x, und wegen x ≠ 0 folgt schließlich λ = μ.

(5) Diese Aussage ist i.a. falsch. Für die Matrix A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ist χ_{A}(X) = X^{2}, damit λ = 0 Eigenwert, E_{A}(0) = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ und H_{A}(0) = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )⟩. Damit gilt E_{A}(0) < H_{A}(0). Für A^{2} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) mit Eigenwert μ = 0 ist aber E_{A}(0) = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )⟩ = H_{A}(0). Somit E_{A}(0) kein echter Teilraum von H_{A}(0). Der erste Teil der Behauptung ist hingegen allgemein richtig. Denn Ax = λx mit x ≠ 0 impliziert A^{2}x = A(λx) = λ^{2}x.