Blatt #12, 16. Jan. 2003 Abgabe bis 23. Jan. 2003, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Norbert Renz

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 48 (18 Punkte). Sei A ∈ C^{n×n}. Berechne das charakteristische Polynom χ_{A}(X) und die Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{k} von A. Gib die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte an. Gib Basen der Eigenund Haupträume an. Bestimme jeweils l_{i} ≥ 1 minimal mit Kern(λ_{i}E − A)^{l_{i}} = H_{A}(λ_{i}). Zur Probe verifiziere man, dass K^{n} = ⨁_{i∈[1,k]} H_{A}(λ_{i}). (Hinweis: Hat ein Polynom f(X) nur ganzzahlige Nullstellen, so teilt jede f(0).)

(1) A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

(2) A = ( \begin{matrix}−7 & 12 \\ −6 & 10 \end{matrix} )

(3) A = ( \begin{matrix}−1 & −1−i & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} )

(4) A = ( \begin{matrix}0 & 2 & −3 \\ −1 & −3 & 2 \\ 1 & 1 & −3 \end{matrix} )

(5) A = ( \begin{matrix}0 & 3 & −1 & −1 \\ 2 & 3 & −2 & −2 \\ 1 & 3 & −2 & −1 \\ 2 & 4 & −2 & −3 \end{matrix} )

(6) A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1−i & 1 & −1 & 0 & −1+i \\ 0 & 0 & i & 0 & 0 \\ −1 & −1 & 0 & 1 & 1 \\ 1−i & 0 & −1 & 1 & i \end{matrix} )

Aufgabe 49 (1+1+2+2+1 Punkte). Sei A ∈ K^{n×n}, wobei K algebraisch abgeschlossen ist.

(1) Zeige: Es gibt ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom f(X) kleinsten Grades mit f(A) = 0. (Dieses Polynom heisst Minimalpolynom von A und wird als μ_{A}(X) bezeichnet.)

(2) Zeige: μ_{A}(X) teilt χ_{A}(X). (Hinweis: Cayley-Hamilton und Polynomdivision.)

(3) Bestimme χ_{A}(X) und μ_{A}(X) der komplexwertigen Matrix A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

(4) Bestimme χ_{A}(X) und μ_{A}(X) der komplexwertigen Matrix A = ( \begin{matrix}2 & −1 & −1 \\ 0 & 3 & 0 \\ −2 & −2 & 1 \end{matrix} ).

(5) Gib eine Matrix A ∈ C^{4×4} an mit χ_{A}(X) = X^{4} + 4X^{3} + 6X^{2} + 4X + 1 und μ_{A}(X) = X^{3} + 3X^{2} + 3X + 1.

Aufgabe 50 (5 Punkte). Seien A, B ∈ C^{n×n}. Zeige oder widerlege:

(1) Ist A ∈ R^{n×n}, so hat A nur reelle Eigenwerte.

(2) Die Matrix A ist regulär genau dann, wenn alle Eigenwerte von Null verschieden sind.

(3) Ist λ der einzige Eigenwert von A und μ der einzige Eigenwert von B, so ist λμ Eigenwert von AB.

(4) Genau dann ist λ der einzige Eigenwert von A, wenn (λE − A)^{n} = 0.

(5) Hat A den Eigenwert λ und gilt: E_{A}(λ) < H_{A}(λ) (echter Teilraum), so hat A^{2} den Eigenwert λ^{2}, und es ist E_{A^{2}}(λ^{2}) < H_{A^{2}}(λ^{2}).

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/kuenzer/WS02/