Blatt #11, 9. Jan. 2003 Abgabe bis 16. Jan. 2003, 15Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Norbert Renz

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 44 (12.5 Punkte). Sei K ein Körper, sei A ∈ K^{n×n}. Berechne det A.

(1) A := ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ R^{2×2}.

(2) A := ( \begin{matrix}1+i & 1+i & 1−i \\ −1 & −i & 2 \\ 0 & 0 & i \end{matrix} ) ∈ C^{3×3}.

(3) A := ( \begin{matrix}9 & 1 & 5 & 4 \\ 3 & 10 & 6 & 9 \\ 7 & 2 & 8 & 0 \\ 8 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ F_{11}^{4×4}.

(4) A := ( \begin{matrix}1 & −ι−1 & 0 & 1 \\ ι & −1 & ι & 0 \\ −ι+1 & −ι & ι−1 & ι−1 \\ 0 & 1+ι & ι & −ι \end{matrix} ) ∈ F_{9}^{4×4}.

(5) A := ( \begin{matrix}7 & 0 & 10 & −12 & 12 & 1 \\ 5 & 3 & 13 & 10 & 15 & 4 \\ 8 & 0 & 11 & 5 & 13 & 2 \\ 9 & 0 & 12 & 9 & 14 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 10 & −1 & 13 & 3 & 15 & 0 \end{matrix} ) ∈ R^{6×6}.

Aufgabe 45 (8 Punkte).

(1) Es sei A_{n} := ( \begin{matrix}1 & −s & 0 & 0 & ··· & 0 \\ s & 1 & −s & 0 & ··· & 0 \\ 0 & s & 1 & −s & ··· & 0 \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & & ··· & s & 1 & −s \\ 0 & & ··· & 0 & s & 1 \end{matrix} ) ∈ C^{n×n}. Zeige: det A_{n} = ∑_{j≥0}s^{2j} (\begin{matrix}n−j \\ j \end{matrix} ).

(Hinweis: Induktion mit Laplace.)

(2) (Vandermondesche Determinante). Sei K ein Körper, seien x_{1}, …, x_{n} ∈ K, und sei A :=

( \begin{matrix}x_{1}^{0} & x_{2}^{0} & ··· & x_{n}^{0} \\ x_{1}^{1} & x_{2}^{1} & ··· & x_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & ··· & x_{n}^{n−1} \end{matrix} ). Zeige: det A = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}). (Hinweis: Induktion.)

(3) Sei A = ( \begin{matrix}1 & 1+α & α & 1+α \\ α & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1+α & 0 & 1 \\ 1+α & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{4}(F_{4}). Berechne den Eintrag von A^{−1} an den Stellen (3, 2)

und (1, 4) vermittels der Cramerschen Regel (also ohne die komplette Inverse zu bestimmen).

(4) Für ξ ∈ F_{9} sei f_{ξ} : F_{9} → F_{9} : η ↦ ηξ die lineare Abbildung, die durch Multiplikation mit ξ auf dem F_{3}-Vektorraum F_{9} gegeben ist. Sei A(ξ) = A(f_{ξ})_{\underline{x},\underline{x}} ∈ F_{3}^{2×2} ihre beschreibende Matrix bezüglich \underline{x} = (1, ι). Berechne det A(ξ) für alle ξ ∈ F_{9} und vergleiche mit ξ^{4}. Was fällt auf?

Aufgabe 46 (2+1 Punkte).

(1) Sei A ∈ Z^{n×n} eine n × n - Matrix mit Einträgen in Z. Zeige: det A ∈ {−1, +1} gilt genau dann, wenn A eine Inverse mit Einträgen aus Z besitzt. (Hinweis: Cramer.)

(2) Zeige: GL_{n}(Z) := {A ∈ Z^{n×n} | det A ∈ {−1, +1}} ≤ GL_{n}(Q).

Aufgabe 47 (5 Punkte). Sei K ein Körper, sei n ≥ 1, und seien A, B ∈ K^{n×n}. Zeige oder widerlege. (1) Wenn es ein m ≥ 1 gibt mit A^{m} regulär, so ist auch A regulär.

(2) Für λ, μ ∈ K ist det(λA + μB) = λ det(A) + μ det(B).

(3) Sind A und B obere Blockdreiecksmatrizen, so auch AB.

(4) SL_{n}(K) := {A ∈ GL_{n}(K) | det(A) = 1} ist eine Untergruppe von GL_{n}(K).

(5) Es gibt n!/2 Permutationsmatrizen in GL_{n}(K) mit Determinante 1.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/kuenzer/WS02/