Blatt #10, 19. Dez. 2002

Aufgabe 39.

(1) Es wird A geeignet umgeformt zu ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & s+1 \end{matrix} ). Damit ist rk A = 1 falls s = −1 und rk A = 2 sonst.

(2) Es wird A geeignet umgeformt zu ( \begin{matrix}1 & −1 & i \\ 0 & −s & is \\ 0 & 0 & s−1 \end{matrix} ). Damit ist rk A = 2 falls s = 0 oder s = 1 und rk A = 3 sonst.

(3) Es wird A geeignet umgeformt zu ( \begin{matrix}1 & α & 1+α \\ 0 & s−1 & 0 \\ 0 & 0 & s^{3}−1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). Damit ist rk A = 3 falls s = 0, rk A = 2 falls

s = α oder s = α + 1 und rk A = 1 falls s = 1.

Aufgabe 40.

(1) Es ist A singulär für a = −3. Für a ≠ −3 wird (A|E) umgeformt zu ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & \frac{a+1}{a+3} & \frac{2}{a+3} & − \frac{2}{a+3} \\ 0 & 1 & 0 & | & − \frac{1+2a}{a+3} & \frac{a−2}{a+3} & \frac{5}{a+3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{a+3} & − \frac{1}{a+3} & \frac{1}{a+3} \end{matrix} ).

Damit ist A^{−1} = \frac{1}{a+3} ( \begin{matrix}a+1 & 2 & −2 \\ −(1+2a) & a−2 & 5 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} ). Zur Probe sehen wir AA^{−1} = E oder A^{−1}A = E.

(2) Es ist A regulär, falls a, d, f ≠ 0. In diesem Fall wird (A|E) umgeformt zu ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{a} & − \frac{b}{ad} & \frac{be−cd}{adf} \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & \frac{1}{d} & − \frac{e}{fd} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & \frac{1}{f} \end{matrix} ).

Damit ist A^{−1} = ( \begin{matrix}\frac{1}{a} & − \frac{b}{ad} & \frac{be−cd}{adf} \\ 0 & \frac{1}{d} & − \frac{e}{fd} \\ 0 & 0 & \frac{1}{f} \end{matrix} ).

(3) Es ist A regulär und (A|E) wird umgeformt zu ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & | & β+1 & β & 0 & β \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & β & β^{2}+1 & β & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & β & β & β \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ). Damit ist A^{−1} =

( \begin{matrix}β+1 & β & 0 & β \\ β & β^{2}+1 & β & 0 \\ 0 & β & β & β \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ).

Aufgabe 41.

(1) Diese Aussage gilt i.a. nicht. Denn z.B. gilt für A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ R^{3×3}, daß A^{2} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) mit

rk A^{2} = 1, aber A^{3} = 0 ∈ R^{3×3} mit rk A = 0.

(2) Diese Aussage ist i.a. falsch. Denn z.B. ist für E = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) und A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) jeweils aus R^{3×3}

rk(E + A) = rk(( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} )) = 3 = n.

(3) Für die Direktheit der Summe ist hier zu zeigen, dass Kern(x ↦ Ax) ∩ Im(x ↦ A^{t}x) = 0 gilt. Sei also y = A^{t}x ∈ Im(x ↦ A^{t}x) und gleichzeitig y ∈ Kern(x ↦ Ax), d.h. Ay = A(A^{t}x) = 0. Daraus folgt: x^{t}AA^{t}x = 0, was äquivalent ist zu (A^{t}x)^{t}A^{t}x = 0. Da A^{t}x ∈ R^{n}, folgt hieraus y = A^{t}x = 0. Also gilt: falls ein Element sowohl im Kern als auch im Bild liegt, kann es nur 0 sein.

Bleibt noch zu zeigen, dass die Summe gleich R^{n} ist. Dies folgt aber aus

dim(Kern(x ↦ Ax) ⊕ Im(x ↦ A^{t}x)) = dim Kern(x ↦ Ax) + dim Im(x ↦ A^{t}x)
= dim Kern(x ↦ Ax) + rk A^{t}
= dim Kern(x ↦ Ax) + rk A
= dim Kern(x ↦ Ax) + dim Im(x ↦ Ax)
= n .

(4) Sei f : x ↦ Ax. Ist rk A^{m} = rk A^{m+1}, so ist Im f^{m} = Im f^{m+1}, d.h. f^{m}(K^{n}) = f^{m+1}(K^{n}). Anwenden von f auf beide Seiten liefert f^{m+1}(K^{n}) = f^{m+2}(K^{n}), und somit rk A^{m+1} = rk A^{m+2}.

(5) Analog zu (3) ist zu zeigen, dass Kern(x ↦ A^{m}x) ∩ Im(x ↦ A^{m}x) = 0. Mit (2) folgt, dass rk A^{m} = rk A^{m+1} = ⋯ = rk A^{2m}, also dim Im A^{m} = dim Im A^{2m}. Mit der Dimensionsformel folgt dann dim Kern A^{m} = dim Kern A^{2m} und somit wegen Kern A^{2m} ≥ Kern A^{m} auch Kern A^{m} = Kern A^{2m}. Sei nun y = A^{m}x ∈ Im A^{m} gewählt und gelte gleichzeitig y ∈ Kern A^{m}. Damit folgt A^{m}y = A^{m}(A^{m}x) = A^{2m}x = 0, d.h. x ∈ Kern A^{2m} = Kern A^{m}. Also gilt y = A^{m}x = 0 und somit ist nur 0 in obigem Schnitt enthalten.

Aufgabe 42.

(1) Für A ∈ K^{3×3} gilt nach Leibniz:

\begin{aligned}det A = ∑_{σ∈S_{3}} ε_{σ} ∏_{i∈[1,3]} a_{σ(i),i} & = & a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{2,1}a_{3,2}a_{1,3} + a_{3,1}a_{1,2}a_{2,3} \\ & & −a_{1,1}a_{3,2}a_{2,3} − a_{2,1}a_{1,2}a_{3,3} − a_{3,1}a_{2,2}a_{1,3} . \end{aligned}

(2) Für die Auswertung der Leibnizschen Formel benötigt man (n! − 1) Additionen und (n − 1)n! Multiplikationen (oder aber n · n!, wenn man ε_{σ} nicht als Vorzeichen, sondern als Faktor ansieht).

Aufgabe 43.

Diese Aussage ist i.a. falsch. Z.B. ist für A := ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) das charakteristische Polynom χ_{A}(X) =

det(XE − A) = X^{3} − X^{2} − X + 1. Damit nimmt χ′_{A}(X) = 3X^{2} − 2X − 1 an der Stelle 0 den Wert −1 an.