Blatt #10, 19. Dez. 2002 Abgabe bis 9. Jan. 2003, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 39 (9 Punkte). Seien K ein Körper, m, n ≥ 1 und A ∈ K^{m×n}. Bestimme den Rang rk A in Abhängigkeit von s ∈ K, d.h. ggf. mit Fallunterscheidungen.

(1) K = R, A = (\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 1 & s \end{matrix}).

(2) K = C, A = (\begin{matrix}1 & −1 & i \\ −i & i & s \\ 1−s & −1 & i \end{matrix}).

(3) K = F_{4}, A = (\begin{matrix}1 & α & α+1 \\ α & α+1 & s^{3} \\ 1 & α & α+1 \\ α+1 & s & α \end{matrix}).

Aufgabe 40 (9 Punkte). Seien K ein Körper, n ≥ 1 und A ∈ K^{n×n}. Gib an, für welche Parameter a, b, c, d, e, f ∈ K die Matrix A invertierbar ist, und bestimme diesenfalls ihre Inverse A^{−1}. Die Probe zählt jeweils 0.5 Punkte.

(1) K = R, A = (\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & −1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix}).

(2) K beliebig, A = (\begin{matrix}a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{matrix} ).

(3) K = F_{8}, A = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & β \\ 0 & β & β & β^{2} \\ 1 & 0 & β^{2}+1 & β+1 \\ 1 & β & β & β^{2}+β+1 \end{matrix}) (kein Parameter).

Aufgabe 41 (5 Punkte). Seien K ein Körper, n ≥ 1 und A ∈ K^{n×n}. Zeige, oder widerlege mittels Gegenbeispiel.

(1) Wir haben rk (A^{2}) = rk (A^{3}).

(2) Der Rang der Summe zweier verschiedener Permutationsmatrizen in K^{n×n} ist < n.

(3) Ist K = R, so ist R^{n} = Kern (x \overline{}Ax) ⊕ Im (x \overline{}A^{t}x). (Hinweis: x^{t}AA^{t}x ≥ 0.)

(4) Ist rk A^{m} = rk A^{m+1} für ein m ≥ 0, so ist rk A^{m+1} = rk A^{m+2}.

(5) Ist rk A^{m} = rk A^{m+1} für ein m ≥ 0, so ist K^{n} = Kern (x \overline{}A^{m}x) ⊕ Im (x \overline{}A^{m}x).

Aufgabe 42 (4 Punkte). Seien K ein Körper, n ≥ 1 und A = (a_{i,j})_{i,j} ∈ K^{n×n}.

(1) Leite im Falle n = 3 eine Formel für det A in der Form a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + − ⋯ aus der Leibnizschen Formel her.

(2) Wieviele Additionen und wieviele Multiplikationen sind nötig, um die Leibnizsche Formel für ein allgemeines n ≥ 1 auszuwerten (vorausgesetzt, man vereinfacht die Rechnung nicht)?

Aufgabe 43 (2 Punkte). Seien K ein Körper, n ≥ 1 und A = (a_{i,j})_{i,j} ∈ K^{n×n}. Sei χ_{A}(X) := det(XE − A) ∈ K[X] das charakteristische Polynom von A. Zeige oder widerlege: Gibt es i, j ∈ [1, n] mit i ≠ j und a_{i,i} = a_{j,j}, so hat χ′_{A}(X) eine Nullstelle bei a_{i,i}.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/kuenzer/WS02/