Blatt #1, 17. Okt. 2002 Abgabe bis 24. Okt. 2002, 15 Uhr 30, Briefkasten vor H3 Matthias Künzer, Marc Meister

Lineare Algebra für Informatiker, Übungen

Aufgabe 1 (6 Punkte). Gegeben seien die Abbildungen (X, Y, Z, W Mengen)

X →^{f} Y →^{g} Z →^{h} W.

Entscheide, ob folgende Aussagen zutreffen oder nicht. Beweise, oder widerlege durch Angabe eines Gegenbeispiels.

(1) h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.

(2) f injektiv, g injektiv ⇒ g ∘ f injektiv.

(3) g ∘ f injektiv ⇒ g injektiv und f injektiv.

(4) f^{−1}(f(U)) = U für alle U ⊆ X.

(5) f(f^{−1}(V)) = V für alle V ⊆ Y.

(6) Ist Y = 𝔓(X), so ist f nicht surjektiv.

Hinweis: Nehme an, {x ∈ X | x ∉ f(x)} ∈ 𝔓(X) liegt im Bild von f. Aufgabe 2 (4 Punkte). Seien X und Y Mengen mit #X = n und #Y = m Elementen (n, m ∈ N). Gib die folgenden Größen (jeweils mit Begründung) an.

(1) Anzahl der Elemente in der Potenzmenge von X, d.h. #𝔓(X).

(2) Anzahl der Abbildungen von X nach Y.

(3) Anzahl der injektiven Abbildungen von X nach Y.

(4) Anzahl der Bijektionen von X nach X. Aufgabe 3 (1+1+1+2 Punkte).

(1) Gib eine Relation auf Z an, die reflexiv und transitiv, nicht aber symmetrisch ist.

(2) Gib eine Relation auf Z an, die reflexiv und symmetrisch, nicht aber transitiv ist.

(3) Gib eine Relation auf Z an, die symmetrisch und transitiv, nicht aber reflexiv ist.

(4) Sei auf X := Z × (Z \ {0}) eine Relation definiert durch

(x, x′) ∼ (y, y′) ⇔ xy′ = yx′.

Zeige, daß (∼) eine Äquivalenzrelation ist, und gib ein Repräsentantensystem an (Hinweis: ”gekürzte Brüche“). Gib eine Bijektion

X/∼ ⟶^{∼} Q

an. Aufgabe 4 (3 Punkte).

(1) Sei eine endliche Gruppe G mit einer Untergruppe U ⩽ G gegeben. Zeige, daß auf G durch

g ∼ h ⇔ es existiert ein u ∈ U mit gu = h

ein Äquivalenzrelation definiert ist. Betrachte die disjunkte Zerlegung in Äquivalenzklassen und zeige

#U teilt #G.

(2) Für eine Gruppe G gelte g^{2} = 1 für alle g ∈ G. Zeige, daß G dann abelsch ist.

(3) Sei eine Menge G mit einer Multiplikation (·) gegeben, die (G 1) und (G 2r, 3r) erfüllt: (G 2r) Es existiert ein e_{r} ∈ G mit x · e_{r} = x für alle x ∈ G (rechtsneutrales Element). (G 3r) Für alle x ∈ G existiert ein y_{r} ∈ G mit x · y_{r} = e_{r} (rechtsinverses Element). (Es wird keine Eindeutigkeit gefordert.) Zeige, daß dann (G 2) und (G 3) gelten. Hinweis: Ist x_{r}^{−1} rechtsinvers zu x , so zeige zunächst x_{r}^{−1}x = e_{r}; betrachte hierzu x_{r}^{−1}xx_{r}^{−1}(x_{r}^{−1})_{r}^{−1}. Zeige dann e_{r}x = x; schreibe hierzu e_{r} = xx_{r}^{−1}.

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