Lösung.

Es ist $ \mbox{$\Delta(x,y) = -\det\left(\begin{matrix}1 & 2x \\ 2x & 1+4x^2\end{matrix}\right) = -1$}$ für alle $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}$}$, die Gleichung also auf $ \mbox{$\mathbb{R}^2$}$ elliptisch. Eine komplexe Lösung von

$ \mbox{$\displaystyle z_x + (2x + \mathrm{i}) z_y = 0 $}$
ist durch $ \mbox{$z(x,y) = x + \mathrm{i}(y - x^2)$}$ gegeben. Mit $ \mbox{$\xi(x,y) = x$}$ und $ \mbox{$\eta(x,y) = y-x^2$}$ erhalten wir die Umkehrtransformation
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x(\xi,\eta) & = & \xi \\ y(\xi,\eta) & = & \eta+\xi^2 . \\ \end{array} $}$
Die Gleichung
$ \mbox{$\displaystyle \tilde u_{\xi\xi} + \tilde{u}_{\eta\eta} = 0 $}$
wird durch $ \mbox{$\tilde{u} = \varphi (\eta+\mathrm{i}\xi) + \psi(\eta-\mathrm{i}\xi)$}$ gelöst. Damit ist $ \mbox{$u(x,y) = \varphi (y-x^2+\mathrm{i}y) + \psi(y-x^2-\mathrm{i}y)$}$ mit beliebigen (zweimal differenzierbaren) Funktionen $ \mbox{$\varphi $}$ und $ \mbox{$\psi$}$. Für reellwertige Lösungen ist davon der Real- oder der Imaginärteil zu nehmen.