Lösung.

Mit $ \mbox{$v = u(x,y)$}$ ist die lineare partielle Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle x v f_x + f_y + y f_v = 0 $}$
in den Variablen $ \mbox{$x,y,v$}$ zu lösen.

Aus

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lll} \frac{dx}{dy} &=& xv\vspace*{2mm}\\ \frac{dv}{dy} &=& y. \end{array}$}$
erhält man die beiden unabhängigen Lösungen $ \mbox{$v - y^2/2$}$ und $ \mbox{$x\exp(y^3/3-yv)$}$, vgl. Aufgabe zu linearer partieller Differentialgleichung.

Die Lösung der ursprünglichen quasi-linearen Gleichung ist dann implizit gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle f(x,y,u(x,y))\; =\; g\bigl( u(x,y) - y^2/2,\; x \exp( y^3/3 - y u(x,y) ) \bigr) \;=\; \text{const.} $}$
mit beliebigem $ \mbox{$g$}$, solange $ \mbox{$f_v$}$ nicht identisch verschwindet.