Lösung.

(i)
Ein Polynom vom Grade $ \mbox{$3$}$ ist reduzibel falls man einen Linearfaktor abspalten kann, d.h. falls es eine Nullstelle hat. Das Polynom $ \mbox{$X^3 + X^2 -1$}$ hat (wie man durch Einsetzen von $ \mbox{$0,1,-1$}$ nachrechnet) in $ \mbox{$\mathbb{F}_3$}$ kein Nullstelle, ist also irreduzibel, und man kann
$ \mbox{$\displaystyle \mathbb{F}_{27} \; =\; \mathbb{F}_3[X] / (X^3 + X^2 - 1)\mathbb{F}_3[X] $}$
setzen.
(ii)
Man wird versuchen, ein möglichst einfaches primitives Element zu finden, welches andererseits aber natürlich nicht in $ \mbox{$\mathbb{F}_3$}$ liegen darf. Polynomdivision von $ \mbox{$(-X)^{13}$}$ durch $ \mbox{$X^3 + X^2 -1$}$ in $ \mbox{$\mathbb{F}_3[X]$}$ liefert
$ \mbox{$\displaystyle - X^{13} \; =\; (X^3 + X^2 - 1) \cdot (- X^{10} + X^9 - X^8 - X^7 - X^6 - X + 1) - 1. $}$
In $ \mbox{$\mathbb{F}_{27}$}$ wird somit $ \mbox{$(-X)^{13} = - 1$}$, d.h. $ \mbox{$\alpha = -X$}$ ist in der Tat ein primitives Element.
(iii)
Für $ \mbox{$\alpha = -X$}$ ergibt sich in $ \mbox{$\mathbb{F}_{27}$}$ (d.h. modulo $ \mbox{$X^3 + X^2 -1$}$)

$ \mbox{$k$}$ $ \mbox{$\alpha^k$}$   $ \mbox{$k$}$ $ \mbox{$\alpha^k$}$
$ \mbox{$0 $}$ $ \mbox{$1$}$   $ \mbox{$1$}$ $ \mbox{$-X$}$
$ \mbox{$2 $}$ $ \mbox{$X^2$}$   $ \mbox{$3$}$ $ \mbox{$X^2-1$}$
$ \mbox{$4 $}$ $ \mbox{$X^2+X-1$}$   $ \mbox{$5 $}$ $ \mbox{$X-1$}$
$ \mbox{$6 $}$ $ \mbox{$-X^2+X$}$   $ \mbox{$7 $}$ $ \mbox{$X^2+1$}$
$ \mbox{$8 $}$ $ \mbox{$X^2-X-1$}$   $ \mbox{$9 $}$ $ \mbox{$X^2+X-1$}$
$ \mbox{$10$}$ $ \mbox{$X^2+X+1$}$   $ \mbox{$11$}$ $ \mbox{$-X-1$}$
$ \mbox{$12$}$ $ \mbox{$X^2+X$}$   $ \mbox{$13$}$ $ \mbox{$-1$}$

Die Einträge $ \mbox{$\alpha^{14},\dots,\alpha^{25}$}$ ergeben sich durch Negation, $ \mbox{$\alpha^{14} = -\alpha^1$}$ etc.

Zu $ \mbox{$m\in\{0,\dots,25\}$}$ ist jeweils $ \mbox{$l\in \{-1,1,2,3,4,\dots,25\}$}$ so zu bestimmen, daß $ \mbox{$1+\alpha^m = \alpha^l$}$ gilt ( $ \mbox{$l=-1$}$ falls $ \mbox{$1+\alpha^m = 0$}$).

Der Zech-Logarithmus zu bspw. $ \mbox{$m=7$}$ ergibt sich wegen $ \mbox{$1+\alpha^7 = X^2-1 = \alpha^3$}$ zu $ \mbox{$l = 3$}$; und entsprechend werden die weiteren Werte ermittelt.

$ \mbox{$k$}$   $ \mbox{$0 $}$ $ \mbox{$1$}$ $ \mbox{$2 $}$ $ \mbox{$3$}$ $ \mbox{$4 $}$ $ \mbox{$5 $}$ $ \mbox{$6 $}$ $ \mbox{$7 $}$ $ \mbox{$8 $}$ $ \mbox{$9 $}$ $ \mbox{$10$}$ $ \mbox{$11$}$ $ \mbox{$12$}$
$ \mbox{$l$}$   $ \mbox{$13$}$ $ \mbox{$18$}$ $ \mbox{$7 $}$ $ \mbox{$2 $}$ $ \mbox{$12$}$ $ \mbox{$14$}$ $ \mbox{$21$}$ $ \mbox{$3$}$ $ \mbox{$19$}$ $ \mbox{$6 $}$ $ \mbox{$4 $}$ $ \mbox{$1$}$ $ \mbox{$10$}$
                             
$ \mbox{$k$}$   $ \mbox{$13$}$ $ \mbox{$14$}$ $ \mbox{$15$}$ $ \mbox{$16$}$ $ \mbox{$17$}$ $ \mbox{$18$}$ $ \mbox{$19$}$ $ \mbox{$20$}$ $ \mbox{$21$}$ $ \mbox{$22$}$ $ \mbox{$23$}$ $ \mbox{$24$}$ $ \mbox{$25$}$
$ \mbox{$l$}$   $ \mbox{$-1$}$ $ \mbox{$24$}$ $ \mbox{$16$}$ $ \mbox{$20$}$ $ \mbox{$23$}$ $ \mbox{$11$}$ $ \mbox{$22$}$ $ \mbox{$15$}$ $ \mbox{$9 $}$ $ \mbox{$8 $}$ $ \mbox{$25$}$ $ \mbox{$5 $}$ $ \mbox{$17$}$

(iv)
Ein nicht primitives Element $ \mbox{$\beta = \alpha^k$}$ aus $ \mbox{$\mathbb{F}_{27}\backslash\mathbb{F}_3$}$ erfüllt $ \mbox{$\beta^{13} = 1$}$, da $ \mbox{$\beta^2 = 1$}$ oder $ \mbox{$\beta^1 = 1$}$ bereits $ \mbox{$\beta\in\mathbb{F}_3$}$ nach sich zöge. Nun bedeutet $ \mbox{$\beta^{13} = \alpha^{13 k} = 1$}$ aber gerade, daß $ \mbox{$26$}$ den Exponenten $ \mbox{$13k$}$ teilt. Jedes Element aus $ \mbox{$\{\alpha^2,\alpha^4,\dots,\alpha^{24}\}$}$ erfüllt also die Anforderungen.
(v)
Argument A
Zunächst ist $ \mbox{$F(0) = 0$}$. Für Elemente $ \mbox{$x=\alpha^k$}$ aus $ \mbox{$\mathbb{F}_{27}\backslash\{0\}$}$ muß $ \mbox{$F(\alpha^k) = \alpha^{3k} = \alpha^k$}$ gelten, d.h. $ \mbox{$26$}$ muß $ \mbox{$3k - k = 2k$}$ teilen, in anderen Worten, $ \mbox{$k\in\{ 0, 13\}$}$. Insgesamt erhalten wir so die Fixpunktmenge $ \mbox{$\{0,\alpha^0,\alpha^{13}\} = \{ 0, 1, -1\}\subseteq \mathbb{F}_{27}$}$.
Argument B
Für $ \mbox{$t\in\mathbb{F}_3\subseteq \mathbb{F}_{27}$}$ ist $ \mbox{$F(t) = t^3 = t$}$. Da das Polynom $ \mbox{$T^3 - T$}$ von Grad $ \mbox{$3$}$ ist, hat es aber höchstens $ \mbox{$3$}$ Nullstellen. Außerhalb von $ \mbox{$\mathbb{F}_3$}$ befinden sich also keine weiteren Fixpunkte.