Ein Polynom vom Grade
ist
reduzibel falls man einen Linearfaktor abspalten kann,
d.h. falls es eine Nullstelle hat.
Das Polynom
hat (wie man durch Einsetzen von
nachrechnet)
in
kein Nullstelle, ist also irreduzibel, und man kann
setzen.
(ii)
Man wird versuchen, ein möglichst einfaches primitives Element zu finden, welches andererseits aber natürlich
nicht in
liegen darf. Polynomdivision von
durch
in
liefert
In
wird somit
, d.h.
ist in der Tat ein primitives Element.
(iii)
Für
ergibt sich in
(d.h. modulo
)
Die Einträge
ergeben sich durch Negation,
etc.
Zu
ist jeweils
so zu bestimmen,
daß
gilt (
falls
).
Der Zech-Logarithmus zu bspw.
ergibt sich wegen
zu
; und entsprechend werden die weiteren
Werte ermittelt.
(iv)
Ein nicht primitives Element
aus
erfüllt
, da
oder
bereits
nach sich zöge.
Nun bedeutet
aber gerade, daß
den Exponenten
teilt. Jedes Element
aus
erfüllt also die Anforderungen.
(v)
Argument A
Zunächst ist
.
Für Elemente
aus
muß
gelten,
d.h.
muß
teilen, in anderen Worten,
. Insgesamt erhalten wir so
die Fixpunktmenge
.
Argument B
Für
ist
. Da das Polynom
von Grad
ist,
hat es aber höchstens
Nullstellen. Außerhalb von
befinden sich also keine weiteren Fixpunkte.