Lösung.

Wir lösen zunächst die zugehörige homogene Differentialgleichung, deren charakteristisches Polynom sich zu

$ \mbox{$\displaystyle \chi(X) \;=\; X^2-1 \;=\; (X+1)(X-1) $}$
faktorisiert. Also ist
$ \mbox{$\displaystyle (\; e^{-t}, \; e^t \; ) $}$
eine Basis des Lösungsraumes, und $ \mbox{$y_h(t)=c_1e^{-t}+c_2e^t$}$ mit $ \mbox{$c_1,c_2\in\mathbb{C}$}$ die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung $ \mbox{$y''(t) - y(t) = 0$}$ .

Da die Störfunktion in der Differentialgleichung eine einfache Gestalt hat, machen wir einen Ansatz vom Typ der rechten Seite für die partikuläre Lösung. Sei also

$ \mbox{$\displaystyle y_\text{p}(t) \;=\; e^{2t}(A_1t+A_0) $}$
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten $ \mbox{$A_0,\, A_1\,\in\,\mathbb{C}$}$ .

Damit wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} y_\text{p}'(t) &=& e^{2t}(2A_1t+2A_0+A_1)\vspace{3mm}\\ y_\text{p}''(t) &=& e^{2t}(4A_1t+4A_0+4A_1). \end{array}$}$
Durch Einsetzen von $ \mbox{$y_\text{p}(t)$}$ in die Differentialgleichung erhalten wir die Bedingung
$ \mbox{$\displaystyle e^{2t}(4A_1t + 4A_0 + 4A_1)-e^{2t}(A_1t + A_0) \;=\; e^{2t}(3A_1t + 4A_1 + 3A_0)\;\overset{!}{=}\; e^{2t}(t + 1) $}$
und folgern durch Koeffizientenvergleich
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} A_1 &=& \dfrac{1}{3}\vspace{3mm}\\ ... ...& \dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{4}{3}\right)\; =\; -\dfrac{1}{9}\; . \end{array}$}$
Also ist
$ \mbox{$\displaystyle y(t) \;=\; c_1e^{-t}+c_2e^t+e^{2t}\left(\frac{1}{3}\;t-\frac{1}{9}\right) $}$
für $ \mbox{$c_1,\, c_2\,\in\,\mathbb{C}$}$ die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung.