Lösung.

Das charakteristische Polynom der Differentialgleichung faktorisiert sich zu

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \chi_A(X) &=& X^5-2X^3+2X^2-3X+2 \;=\... ...^2+1)\vspace{3mm}\\ &=& (X-1)^2(X+2)(X+\text{i})(X-\text{i})\;. \end{array}$}$
Also ist eine $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ -lineare Basis der Lösungsgesamtheit gegeben durch
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} (e^t,\; te^t,\vspace{3mm}\\ e^{-2t},\... ...ce{3mm}\\ e^{-\text{i}t},\vspace{3mm}\\ e^{\text{i}t} \; )\,. \end{array}$}$
Die allgemeine Lösung ist daher gegeben durch
$ \mbox{$\displaystyle y(t) \;=\; c_1e^t+c_2te^t+c_3e^{-2t}+c_4e^{-\text{i}t}+c_5e^{\text{i}t} $}$
mit $ \mbox{$c_1,\ldots,c_5\in\mathbb{C}$}$ .

Falls wir eine Basis aus reellwertigen Funktionen möchten, so können wir wegen $ \mbox{$\sin t = (e^{\mathrm{i}t} - e^{-\mathrm{i}t})/(2\mathrm{i})$}$ und $ \mbox{$\cos t = (e^{\mathrm{i}t} + e^{-\mathrm{i}t})/2$}$ $ \mbox{$e^{\pm\text{i}t}$}$ der zueinander konjugiert komplexen Nullstellen $ \mbox{$\pm\text{i}$}$ austauschen durch

$ \mbox{$\displaystyle \cos t,\; \sin t\;, $}$
so daß sich die allgemeine Lösung der Differentialgleichung alternativ ergibt zu
$ \mbox{$\displaystyle y(t) \;=\; c_1e^t+c_2te^t+c_3e^{-2t}+c_4\cos t+c_5\sin t $}$
mit $ \mbox{$c_1,\ldots,c_5\in\mathbb{C}\,$}$ .