Differentialgleichungen vom Typ
. Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten.
Es sei
,
. Wir suchen die vektorwertigen differenzierbaren Funktionen
,
, die der Differentialgleichung
Eine Matrix
, deren Einträge von
abhängen, und deren Spalten eine
-lineare Basis von
bilden,
nennt man Fundamentalmatrix dieser Differentialgleichung. So ist z.B.
eine Fundamentalmatrix von
.
Jede Lösung dieser Differentialgleichung läßt sich dann eindeutig in der Form
für ein
darstellen.
In der Praxis berechnet man nun eine Matrix
in Jordanform mit
Differentialgleichungen vom Typ
. Inhomogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten.
Sei nun zusätzlich eine differenzierbare Funktion
gegeben. Die Lösungsgesamtheit
der Differentialgleichung
Sämtliche Lösungen sind also von der Form
Um eine partikuläre Lösung zu finden, verwendet man die Methode der Variation der Konstanten.
Diese sieht den Ansatz
mit einer Fundamentalmatrix
des zugehörigen
homogenen Systems vor.
Differenziert man diesen Ausdruck, so erhält man
Man hat also mit
Verwendet man speziell die Fundamentalmatrix
, so ist
. Verwendet man hingegen die Fundamentalmatrix
, so ist
.
Homogene lineare Differentialgleichungen
-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Die Lösungsgesamtheit aller
-mal differenzierbaren Funktionen
, die der
homogenen linearen Differentialgleichung
-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Wir konstruieren eine Basis dieses Vektorraumes wie folgt.
Es sei das zugehörige charakteristische Polynom
vollständig faktorisiert zu
wobei
paarweise verschieden sind.
Dann ist eine Basis dieser Lösungsgesamtheit gegeben durch
Diese Basis ist im allgemeinen komplexwertig.
Sind alle
reell, und ist man an einer reellwertigen Basis der Lösungsgesamtheit interessiert, so geht man wie folgt vor.
Es sei abermals das zugehörige charakteristische Polynom vollständig faktorisiert zu
jedoch mit paarweise verschiedenen
,
mit
für
.
Dabei seien die Nullstellen so geordnet, daß
und
.
Dann ist eine reellwertige Basis der Lösungsgesamtheit gegeben durch
Reduktion auf ein System erster Ordnung.
Wir möchten den Zusammenhang der homogenen linearen Differentialgleichung
-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
mit homogenen linearen Systemen von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten nicht verschweigen.
Setzen wir
Das charakteristische Polynom der Matrix
entspricht dabei dem zugehörigen charakteristischen Polynom der gegebenen
Differentialgleichung.
Analog kann man auch ein homogenes System
-ter Ordnung mit
abhängigen Variablen
, ...,
zurückführen auf ein homogenes System erster Ordnung mit
abhängigen
Variablen.
Inhomogene lineare Differentialgleichungen
-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung
-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
Nachdem im obigen Abschnitt beschrieben wird, wie man die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung
erhält, möchten wir uns auf die Bestimmung einer partikulären Lösung
konzentrieren. Dabei möchten
wir drei Vorgehensweisen beschreiben.
I. Ansatz vom Typ der rechten Seite.
Oftmals besitzt die Funktion
, die in diesem Zusammenhang auch Störfunktion genannt wird,
eine einfache Gestalt, für die sich der Lösungsansatz zur Bestimmung der partikulären Lösung gemäß
der folgenden Tabelle ergibt.
Ist dabei
bzw.
keine Nullstelle des zugehörigen charakteristischen Polynoms, so
wählen wir entsprechend
. Liegen ferner Linearkombinationen solcher Störfunktionen vor, so wählt man
als Lösungsansatz für die partikuläre Lösung
eine entsprechende Linearkombination der Ansatzfunktionen.
Man berechnet nun
II. Variation der Konstanten
Wir wählen den folgenden Ansatz zur Bestimmung einer partikulären Lösung
der gegebenen Differentialgleichung.
Die Funktionen
ermittelt man nun mittels der
Gleichungen
III. Zurückführung auf ein inhomogenes lineares System mit konstanten Koeffizienten.
Mit
und
wie im homogenen Fall und mit