Lösung.

Die gegebene Diagonalmatrix

$ \mbox{$\displaystyle
S^{-1} A S \; =\;
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdot...
...dots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\
\end{pmatrix} \; =\; J
$}$

ist in Jordanform. Damit ist also ein Fundamentalmatrix der Differentialgleichung gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle
F(t) \; =\; S \, \text{exp}(tJ) \; =\; S
\begin{pmatrix}...
...\ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n t}
\end{pmatrix} \; .
$}$

Diesen Umstand kann man sich alternativ auch leicht wie folgt erklären.

Substituiert man $ \mbox{$y = S z$}$ , bzw. $ \mbox{$z = S^{-1} y$}$ , so führt das gegebene System $ \mbox{$\dot y = A y$}$ auf das System $ \mbox{$(S\dot z) = A (S z)$}$ , d.h. auf das System

$ \mbox{$\displaystyle
\dot z = \text{diag}(\lambda_1, \, \ldots, \, \lambda_n) z
$}$
bzw.
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{ccc}
\dot z_1 & = & \lambda_1 z_1\vspace{3mm}\\
& \vdots & \vspace{3mm}\\
\dot z_n & = & \lambda_n z_n\,.
\end{array}$}$

Zu diesem System ist eine Fundamentalmatrix leicht auffindbar, nämlich

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{pmatrix}
e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0\\
0 &...
... \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n t}
\end{pmatrix} \; .
$}$

Die Resubstitution $ \mbox{$y = S z$}$ führt schließlich auf die gewünschte Behauptung.