Lösung.

Wenn wir ein Gegenbeispiel suchen, müssen wir bei der Wahl von $ \mbox{$A$}$ und $ \mbox{$B$}$ darauf achten, daß $ \mbox{$AB\ne BA$}$ .

Es sei etwa $ \mbox{$A = \begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$}$ und $ \mbox{$B = \begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}$}$ . Eine direkte Rechnung zeigt, daß

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \exp(A) & = & \begin{pmatrix}1&1\\ 0... ...\ \exp(B) & = & \begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix} \; ,\\ \end{array}$}$
und somit $ \mbox{$\exp(A)\exp(B) = \begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\ 1&1\end{pmatrix}$}$ .

Dagegen liefert die Jordanform von $ \mbox{$A + B = \begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}$}$

$ \mbox{$\displaystyle A + B \;=\; \begin{pmatrix}1&\phantom{-}1\\ 1&-1\end{pm... ...&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&\phantom{-}1\\ 1&-1\end{pmatrix}^{-1}\; , $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle \exp(A + B) \;=\; \begin{pmatrix}1&\phantom{-}1\\ 1&-1... ...\;=\; \begin{pmatrix}\cosh 1 & \sinh 1 \\ \sinh 1 &\cosh 1\end{pmatrix}\; . $}$
Da in $ \mbox{$\exp(A)\exp(B)$}$ die beiden Hauptdiagonaleinträge nicht übereinstimmen, erkennen wir, daß $ \mbox{$\exp(A)\exp(B) \ne \exp(A + B)$}$ .