Beispiel.

Es sei $ \mbox{$n\ge 1$}$ und $ \mbox{$A\in\mathbb{C}^{n\times n}$}$ . Zeige:

1.
Es ist $ \mbox{$\exp(-A) = \exp(A)^{-1}$}$ . Insbesondere ist $ \mbox{$\exp(A)$}$ stets invertierbar.
2.
Es ist $ \mbox{$\exp(A^\text{t}) = \exp(A)^\text{t}$}$ .
3.
Es ist $ \mbox{$\exp((s+t)A) = \exp(sA)\exp(tA)$}$ für $ \mbox{$s,\, t\,\in\,\mathbb{C}$}$ .
4.
Es ist $ \mbox{$\exp(\lambda\text{E} + A) = \exp(\lambda)\exp(A)$}$ für $ \mbox{$\lambda\in\mathbb{C}$}$ .
5.
Es ist $ \mbox{$\det(\exp(A)) = \exp(\text{Spur }A)$}$ . Insbesondere ist $ \mbox{$\exp(A)$}$ stets invertierbar.