Wir behaupten, daß
für alle
.
Da
normal, und somit unitär diagonalisierbar ist, finden wir (auf theoretischem Wege)
eine unitäre Matrix
und eine Diagonalmatrix
mit
, i.e.
.
Genauer, wir können
so wählen, daß die ersten drei Spalten
von
den Raum
erzeugen. In anderen Worten, es ist
genau dann in
, wenn die unteren
beiden Einträge von
verschwinden.
Nun ist
genau dann in
, wenn für
stets
Ist nun
, so wird
, und da die oberen drei Einträge von
verschwinden, gilt dies auch für
,
und mithin auch für
. Also ist auch
, wie behauptet.
Eine Kernberechnung ergibt eine Basis
Sammeln wir all diese Vektoren ein, so erhalten wir mit
Kann man für allgemeines
eine diagonalisierende Matrix
für
angeben? Die Theorie sagt, daß ein solches
existiert, da
normal ist.