Lösung.

(1)
Es ist $ \mbox{$n^{1/2} F$}$ unitär. Also ist
$ \mbox{$\displaystyle F\bar{F}^\text{t} \; = \; n^{-1}\text{E}_n \; = \; \bar{F}^\text{t} F\; , $}$
i.e. $ \mbox{$F$}$ ist normal.

Die Beträge der Eigenwerte der unitären Matrix $ \mbox{$n^{1/2} F$}$ sind alle gleich $ \mbox{$1$}$ . Also sind die Beträge der Eigenwerte von $ \mbox{$F$}$ alle gleich $ \mbox{$n^{-1/2}$}$ .

(2)
Es ist
$ \mbox{$\displaystyle F' \; := \; F^{-1}\; = \; 3\bar{F}^\text{t} \; = \; \le... ... 1 & \zeta & \zeta^2 \\ 1 & \zeta^2 & \zeta \\ \end{array}\right)\; . $}$
Die Matrix $ \mbox{$F'$}$ ist etwas bequemer zu handhaben als $ \mbox{$F$}$ . Diese Ersetzung ist aber nicht wirklich erforderlich.

Beachte, daß $ \mbox{$1 + \zeta + \zeta^2 = 0$}$ , da die Multiplikation mit $ \mbox{$(1-\zeta)$}$ diese Summe annulliert, und da $ \mbox{$\zeta - 1\ne 0$}$ . Ferner ist $ \mbox{$\zeta - \zeta^2 = \text{i}\sqrt{3}$}$ .

Das charakteristische Polynom ergibt sich zu

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \chi_{F'}(X) & = & \det\left( \begin... ...\vspace*{2mm}\\ & = & (X - \text{i}\sqrt{3})\cdot (X^2 - 3)\; . \end{array}$}$
Wir erhalten die Eigenwerte $ \mbox{$\text{i}\sqrt{3}$}$ , $ \mbox{$\sqrt{3}$}$ und $ \mbox{$-\sqrt{3}$}$ . (Deren Beträge sind alle gleich $ \mbox{$\sqrt{3}$}$ , vgl. (1)).

Der Eigenraum von $ \mbox{$F'$}$ zum Eigenwert $ \mbox{$\text{i}\sqrt{3}$}$ wird vom Eigenvektor $ \mbox{$\left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array}\right)$}$ erzeugt.

Der Eigenraum von $ \mbox{$F'$}$ zum Eigenwert $ \mbox{$\sqrt{3}$}$ wird vom Eigenvektor $ \mbox{$\left( \begin{array}{c} 1+\sqrt{3} \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}\right)$}$ erzeugt.

Der Eigenraum von $ \mbox{$F'$}$ zum Eigenwert $ \mbox{$-\sqrt{3}$}$ wird vom Eigenvektor $ \mbox{$\left( \begin{array}{c} 1-\sqrt{3} \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}\right)$}$ erzeugt.

Insgesamt wir mit der unitären Matrix

$ \mbox{$\displaystyle U \; :=\; \left( \begin{array}{ccc} 0 & (1 + \sqrt{3})^{... ...qrt{3}))^{-1/2} & (2\sqrt{3} (\sqrt{3} - 1))^{-1/2} \\ \end{array}\right) $}$
die unitäre Diagonalisierung
$ \mbox{$\displaystyle \bar{U}^\text{t} F' U \; = \; \text{diag}(\text{i}\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{3})\; , $}$
und also
$ \mbox{$\displaystyle \bar{U}^\text{t} F U \; = \; \frac{1}{3}\,\overline{(\ba... ...} \; = \; \frac{1}{3}\,\text{diag}(-\text{i}\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{3})\; . $}$