Lösung.

(1)
Wir haben zu zeigen, daß $ \mbox{$(n^{1/2} F) \cdot (n^{1/2} \bar{F}^\text{t}) = \text{E}_n$}$ ist, i.e., daß $ \mbox{$n^2 F\bar{F}^\text{t} = n\text{E}_n$}$ ist. Dazu kann man z.B. die Darstellungsmatrix von $ \mbox{$f^{-1}$}$ bezüglich der Standardbasen zitieren.

Oder aber, wir rechnen direkt. Beachte zunächst, daß aus $ \mbox{$nF = \big(\zeta^{-kj}\big)_{k,j}$}$ folgt, daß $ \mbox{$n\bar{F}^\text{t} = \big(\zeta^{kj}\big)_{k,j}$}$ .

Es ist zu zeigen, daß der Eintrag

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{j = 0}^{n-1} \zeta^{-kj} \zeta^{j\ell} \; = \; \sum_{j = 0}^{n-1} \zeta^{j(k - \ell)} $}$
an Position $ \mbox{$(k,\ell)$}$ von $ \mbox{$n^2 F\bar{F}^\text{t}$}$ gleich $ \mbox{$n$}$ ist für $ \mbox{$k = \ell$}$ , und gleich $ \mbox{$0$}$ für $ \mbox{$k \ne \ell$}$ . Der Fall $ \mbox{$k = \ell$}$ ist hierbei ersichtlich.

Sei $ \mbox{$k \ne \ell$}$ . Schreibe $ \mbox{$\xi := \zeta^{k - \ell}$}$ . Es ist $ \mbox{$\xi\ne 1$}$ . Ferner wird wegen $ \mbox{$\xi^n = 1$}$

$ \mbox{$\displaystyle \xi\cdot\sum_{j = 0}^{n-1} \xi^j \; = \; \sum_{j = 0}^{n-1} \xi^{j+1} \; = \; \sum_{j = 1}^n \xi^j \; = \; \sum_{j = 0}^{n-1} \xi^j\; , $}$
also $ \mbox{$(\xi - 1)\cdot{\displaystyle\sum_{j = 0}^{n-1}} \xi^j = 0$}$ , und folglich $ \mbox{${\displaystyle\sum_{j = 0}^{n-1}} \xi^j = 0$}$ , wie zu zeigen war.

(2)
Es ist für $ \mbox{$0\le k\le n-1$}$ zu zeigen, daß
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{j = 0}^{n-1} \zeta^{-kj} y_{j+\ell} \;\overset{!}{... ...k\ell} c_k \; = \; \zeta^{k\ell}\cdot\sum_{j = 0}^{n-1} \zeta^{-kj} y_j \; . $}$
Nun wird aber, unter Verwendung der Konvention $ \mbox{$y_{j + n} = y_j$}$ für $ \mbox{$j\in\mathbb{Z}$}$ ,
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{j = 0}^{n-1} \zeta^{-kj} y_{j+\ell} \; = \; \sum_{... ...a^{-kj} y_j \; = \; \zeta^{k\ell}\cdot\sum_{j = 0}^{n-1} \zeta^{-kj} y_j\; . $}$

(3)
Es wird für $ \mbox{$0\le k\le n-1$}$
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\sum_{j = 0}^{n-1} \zeta... ...'_j\right)\vspace*{2mm}\\ & = & n^2\cdot c_k\cdot c'_k\; . \\ \end{array}$}$

(4)
Zu zeigen ist, daß $ \mbox{$n^{-1}\cdot \bar{y}^\text{t} y = \bar{c}^\text{t} c$}$ . In der Tat wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \bar{c}^\text{t}c & = & \bar{y}^\text... ...1}\text{E}_n) y \\ & = & n^{-1}\cdot\bar{y}^\text{t} y \; .\\ \end{array}$}$