Lösung.

(1)
Für $ \mbox{$t \ge 0$}$ wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (f\ast f)(t) & = & {\displaystyle\int... ...2 t} \vspace*{2mm} \\ & = & (t+1) e^{-t}\; . \vspace*{2mm} \\ \end{array}$}$
Aus Symmetriegründen wird also
$ \mbox{$\displaystyle (f\ast f)(t) \; = \; (\vert t\vert+1) e^{-\vert t\vert} $}$
für $ \mbox{$t\in\mathbb{R}$}$ .

(2)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \hat{f}(\omega) & = & {\displaystyle... ...ga)^{-1} \vspace*{2mm} \\ & = & \dfrac{2}{1+\omega^2} \; . \\ \end{array}$}$

(3)
Mit (2) folgt durch Quadrieren
$ \mbox{$\displaystyle \hat{f}(\omega)^2 \; =\; \dfrac{4}{(1+\omega^2)^2}\; . $}$
Nun ist aber auch
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \hat{f}(\omega)^2 & = & (f\ast f)^\w... ...t}]^\wedge(\omega) + \dfrac{2}{1+\omega^2}\; . \vspace*{2mm} \\ \end{array}$}$
Ein Vergleich ergibt
$ \mbox{$\displaystyle [\vert t\vert e^{-\vert t\vert}]^\wedge(\omega) \; =\; \dfrac{2(1 - \omega^2)}{(1+\omega^2)^2} $}$
für $ \mbox{$\omega\in\mathbb{R}$}$ .

(4)
Die linke Seite der Poissonschen Summationsformel ergibt, unter Verwendung einer geometrischen Reihe,
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-\vert n\vert} \; = \; -... ...} e^{-n} \; = \; -1 + \dfrac{2}{1 - e^{-1}} \; = \; \dfrac{e + 1}{e - 1}\; . $}$
Die rechte Seite liefert
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \dfrac{2}{1 + (2\pi n)^2} \; = \; -2 + \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{4}{1 + 4\pi^2 n^2} \; . $}$
Ein Vergleich ergibt
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{1 + 4\pi^2 n^2} \; = \; ... ...{4}\left(\dfrac{e + 1}{e - 1} + 2\right) \; = \; \dfrac{3e - 1}{4e - 4}\; , $}$
wie behauptet.

(5)
Die linke Seite der Parsevalschen Gleichung gibt
$ \mbox{$\displaystyle 2\pi\int_{-\infty}^{+\infty} \big(e^{-\vert t\vert}\big)^2\,\text{d}t \; = \; 2\pi\; . $}$
Die rechte Seite wird zu
$ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{2}{1 + \omega^2}\ri... ...\; = \; 4\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1 + s^2)^2}\,\text{d}s\; . $}$
Ein Vergleich liefert
$ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1 + s^2)^2}\,\text{d}s \; = \; \dfrac{\pi}{2}\; , $}$
wie behauptet.

Das Ergebnis in (5) ergibt sich auch aus dem Residuensatz, denn $ \mbox{$(1 + z^2)^{-2}$}$ ist in der oberen Halbebene $ \mbox{$\{z\in\mathbb{C}\; \vert\; \text{Im}(z)\ge 0\}$}$ betragsmäßig hinreichend klein für betragsgroße $ \mbox{$z$}$ , und hat dort nur bei $ \mbox{$z = \mathrm{i}$}$ einen Pol, und zwar von Ordnung $ \mbox{$2$}$ und mit Residuum $ \mbox{$-\mathrm{i}/4$}$ . Als Integralwert erhalten wir somit $ \mbox{$2\pi\mathrm{i}\cdot (-\mathrm{i}/4) = \pi/2$}$ , was unser Ergebnis bestätigt.