Lösung.

(1)
Wir wollen
$ \mbox{$\displaystyle \hat{f}(\omega) \; =\; [(t^2 + 1)^{-1}]^\wedge(\omega) \... ...le\int_{-\infty}^{+\infty}}\frac{e^{-\text{i}\omega t}}{t^2 + 1} \,\text{d}t $}$
berechnen, zunächst für $ \mbox{$\omega > 0$}$ .

Sei $ \mbox{$R > 0$}$ . Sei $ \mbox{$\gamma_{1,R}(s) := Rs - R(1-s) = R(2s-1)$}$ für $ \mbox{$s\in [0,1]$}$ . Sei $ \mbox{$\gamma_{2,R}(s) := R\exp(-\pi\text{i} s)$}$ für $ \mbox{$s\in [0,1]$}$ . Sei $ \mbox{$\gamma_R = \gamma_{1,R} + \gamma_{2,R}$}$ . Es durchläuft also $ \mbox{$\gamma_R$}$ den Rand eines Halbkreises von Radius $ \mbox{$R$}$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt, welcher in der unteren Halbebene liegt.

Zunächst halten wir fest, daß

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{R\to\infty} {\displaystyle\int_{\gamma_{2,R}}}\frac{e^{-\text{i}\omega z}}{z^2 + 1} \; =\; 0\;, $}$
da für $ \mbox{$R\ge\sqrt{2}$}$ sich
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left\vert\displaystyle\int_{\gamma_{... ...^2/2} \pi R \,\text{d}s \vspace*{2mm} \\ & = & 2\pi R^{-1} \\ \end{array}$}$
ergibt. Ferner ist
$ \mbox{$\displaystyle \lim_{R\to\infty} {\displaystyle\int_{\gamma_{1,R}}}\fra... ...int_{-\infty}^{+\infty}}\frac{e^{-\text{i}\omega t}}{t^2 + 1}\,\text{d}t\; . $}$

Insgesamt ist also, da $ \mbox{$\int_{\gamma_R} = \int_{\gamma_{1,R}} + \int_{\gamma_{2,R}}$}$ ,

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{R\to\infty} {\displaystyle\int_{\gamma_R}}\frac{e^... ...splaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}}\frac{e^{-\text{i}\omega t}}{t^2 + 1}\; . $}$

Der Integrand hat in der unteren Halbebene nur eine Singularität bei $ \mbox{$-\text{i}$}$ , namentlich einen Pol erster Ordnung, und dort ist

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{Res}_{z = -\text{i}}\big(e^{-\t... ...m}\\ & = & (-2\text{i})^{-1}\cdot e^{-\omega} \vspace*{2mm}\\ \end{array}$}$

Mit dem Residuensatz wird nun wegen der negativen Umlaufrichtung von $ \mbox{$\gamma_R$}$ für $ \mbox{$R > 1$}$ um die Singularität bei $ \mbox{$-\text{i}$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} [(t^2 + 1)^{-1}]^\wedge(\omega) & = &... ...e^{-\omega} \vspace*{2mm}\\ & = & \pi\cdot e^{-\omega}\; . \\ \end{array}$}$
Da nun $ \mbox{$\hat{f}(\omega) = [f(t)]^\wedge(\omega) = [f(-t)]^\wedge(\omega) = \hat{f}(-\omega)$}$ , folgt für $ \mbox{$\omega\in\mathbb{R}$}$ , daß
$ \mbox{$\displaystyle \hat{f}(\omega) \; =\; [(t^2 + 1)^{-1}]^\wedge(\omega) \; =\; \pi\cdot e^{-\vert\omega\vert} $}$

(2)
Zunächst einmal merken wir an, daß $ \mbox{$f'(t) = -2t (1+t^2)^{-2} = -2t f(t)^2$}$ , und daß
$ \mbox{$\displaystyle [f'(t)]^\wedge(\omega) \; =\; \text{i}\omega\hat{f}(\omega) \; =\; \text{i}\omega\pi\cdot e^{-\vert\omega\vert}\; , $}$
so daß sich
$ \mbox{$\displaystyle [tf(t)^2]^\wedge(\omega) \; =\; -\frac{\pi\text{i}}{2}\cdot\omega\cdot e^{-\vert\omega\vert} $}$
ergibt.

(3)
Mit (2) ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} [t^2 f(t)^2]^\wedge(\omega) & = & [t ... ...- \vert\omega\vert)\, e^{-\vert\omega\vert}\; . \vspace*{2mm}\\ \end{array}$}$

(4)
Mit (1) bleibt zu zeigen, daß
$ \mbox{$\displaystyle [e^{-\vert\omega\vert}]^\wedge (t) \;\overset{!}{=}\; 2f(-t) \; =\; 2 (1 + t^2)^{-1}\; . $}$
In der Tat wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} [e^{-\vert\omega\vert}]^\wedge (t) & ... ...{i} t - 1)^{-1} \vspace*{4mm}\\ & = & 2 (1 + t^2)^{-1}\; . \\ \end{array}$}$

(5)
Die Parsevalsche Gleichung besagt hier, daß
$ \mbox{$\displaystyle 2\pi\int_{-\infty}^{+\infty} (t^2 + 1)^{-2}\,\text{d}t \... ...t_{-\infty}^{+\infty} (\pi\cdot e^{-\vert\omega\vert})^2\,\text{d}\omega\; . $}$
Daraus kann man folgern, daß
$ \mbox{$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} (t^2 + 1)^{-2}\,\text{d}t \; =\; \pi\cdot\int_0^\infty e^{-2\omega}\,\text{d}\omega\; =\; \pi/2 \; . $}$
Dies hätte man auch mittels Partialbruchzerlegung oder mittels Residuensatz erhalten können.

(6)
Die Poissonsche Summationsformel gibt hier
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{+\infty} (1 + n^2)^{-1} \; =\; \pi\cdot \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-2\pi \vert n\vert}\; . $}$
Demzufolge wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty} (1... ... & = & -\dfrac{\pi + 1}{2} + \dfrac{\pi}{1 - e^{-2\pi}} \; . \\ \end{array}$}$