HM II

Fouriertransformation.

Definition.

Sei $\mbox{$f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$}$ so gegeben, daß $\mbox{$e^{-\mathrm{i}\omega t} f(t)$}$ für alle $\mbox{$\omega\in\mathbb{R}$}$ von $\mbox{$-\infty$}$ bis $\mbox{$+\infty$}$ integrierbar ist. Es heiße diesenfalls $\mbox{$f$}$ fouriertransformierbar, und die resultierende Funktion

$\mbox{$\displaystyle \hat{f}(\omega) \; =\; f^\wedge(\omega) \; := \; \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\mathrm{i}\omega t} f(t) \,\text{d}t $}$

in $\mbox{$\omega\in\mathbb{R}$}$ die Fouriertransformierte von $\mbox{$f$}$ . Die Bezeichnungen $\mbox{$\hat{f}$}$ und $\mbox{$f^\wedge$}$ seien gleichbedeutend, erstere ist nicht immer praktisch.

Wir erlauben uns bei Bedarf auch, $\mbox{$[f(t)]^\wedge(\omega) := \hat{f}(\omega)$}$ zu schreiben. Das Argument $\mbox{$t$}$ diene hierbei nur der Kenntlichmachung der fourierzutransformierenden Funktion, das Resultat ist weiterhin eine Funktion in $\mbox{$\omega$}$ .

Ist $\mbox{$f$}$ stückweise stetig und ist $\mbox{$\vert f(t)\vert$}$ von $\mbox{$-\infty$}$ bis $\mbox{$+\infty$}$ integrierbar ist, so heiße $\mbox{$f$}$ absolut integrierbar. Absolut integrierbare Funktionen sind fouriertransformierbar.

Regeln.

Seien $\mbox{$f,\, g :\mathbb{R}\to\mathbb{C}$}$ fouriertransformierbar. Seien $\mbox{$\alpha,\,\beta\,\in\,\mathbb{C}$}$ . Sei $\mbox{$r\in\mathbb{R}$}$ . Sei $\mbox{$m\,\ge\, 0$}$ ganz.

Folgende Gleichheiten gelten für alle $\mbox{$\omega\in\mathbb{R}$}$ .

Es ist $\mbox{$(\alpha f + \beta g)^\wedge(\omega) = \alpha \hat{f}(\omega) + \beta \hat{g}(\omega)$}$ .
Es ist $\mbox{$[\overline{f(t)}]^\wedge(\omega) = \overline{\hat{f}(-\omega)}$}$ .
Es ist $\mbox{$[f(-t)]^\wedge(\omega) = \hat{f}(-\omega)$}$ .
Es ist $\mbox{$[f(rt)]^\wedge(\omega) = \hat{f}(\omega/r)/r$}$ , falls $\mbox{$r > 0$}$ .
Es ist $\mbox{$[f(t-r)]^\wedge(\omega) = e^{-\mathrm{i}\omega r}\hat{f}(\omega)$}$ .
Es ist $\mbox{$[f^{(m)}(t)]^\wedge(\omega) = (\mathrm{i}\omega)^m \hat{f}(\omega)$}$ , falls $\mbox{$f$}$ $\mbox{$m$}$ -fach differenzierbar ist.
Es ist $\mbox{$[t^m f(t)]^\wedge(\omega) = \mathrm{i}^m \hat{f}^{(m)}(\omega)$}$ , falls $\mbox{$t^m f(t)$}$ fouriertransformierbar ist.
Es ist $\mbox{$[e^{\mathrm{i}rt} f]^\wedge(\omega) = \hat{f}(\omega - r)$}$ .
Es ist $\mbox{$(f^\wedge)^\wedge(t) = 2\pi\cdot f(-t)$}$ für $\mbox{$t\in\mathbb{R}$}$ , falls $\mbox{$f$}$ absolut integrierbar und stetig differenzierbar ist.
Ist $\mbox{$f$}$ hingegen nur stückweise stetig differenzierbar, und existieren an jeder Sprungstelle die einseitigen Grenzwerte von $\mbox{$f$}$ und von $\mbox{$f'$}$ , so gilt die Formel weiterhin, mit der Modifikation, daß an den Sprungstellen von $\mbox{$f(-t)$}$ die Funktion $\mbox{$(f^\wedge)^\wedge(t)$}$ den (arithmetischen) Mittelwert der einseitigen Grenzwerte von $\mbox{$2\pi\cdot f(-t)$}$ als Wert annimmt.

Sei erwähnt, daß bei Fouriertransformationen in der Praxis häufig mit verallgemeinerten Funktionen, sogenannten Distributionen, gerechnet wird. So etwa ist die Fouriertransformierte der konstanten Funktion $\mbox{$f(t) = 1$}$ das $\mbox{$2\pi$}$ -fache des Diracschen $\mbox{$\delta$}$ . Wir wollen uns dagegen auf Funktionen im eigentlichen Sinne beschränken.

Faltung.

Seien $\mbox{$f,\, g :\mathbb{R}\to\mathbb{C}$}$ absolut integrierbar. Sei die Funktion

$\mbox{$\displaystyle (f\ast g)(t) \; =\; \int_{-\infty}^{+\infty} f(t - \tau) g(\tau) \,\text{d}\tau $}$

in $\mbox{$t\in\mathbb{R}$}$ die Faltung von $\mbox{$f$}$ und $\mbox{$g$}$ . Als Merkregel beobachte man, daß das Integral an das Cauchyprodukt von Reihen erinnert.

Dann ist

$\mbox{$\displaystyle (f\ast g)^\wedge(\omega) \; =\; \hat{f}(\omega)\cdot \hat{g}(\omega) $}$

für $\mbox{$\omega\in\mathbb{R}$}$ .

Parseval.

Ist $\mbox{$f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$}$ absolut integrierbar, so gilt die Parsevalsche (Norm-)Gleichung

$\mbox{$\displaystyle 2\pi\cdot\int_{-\infty}^{+\infty} \vert f(t)\vert^2\,\te... ...=\; \int_{-\infty}^{+\infty} \vert\hat{f}(\omega)\vert^2\,\text{d}\omega\; . $}$

Poisson.

Ist $\mbox{$f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$}$ absolut integrierbar, so gilt die Poissonsche Summationsformel

$\mbox{$\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{+\infty} f(n) \; =\; \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \hat{f}(2\pi n)\; . $}$