Aufgabe.

Sei $ \mbox{$f(t) = \exp(-\vert t\vert)$}$ .

(1)
Berechne die Faltung $ \mbox{$(f\ast f)(t)$}$ .
(2)
Berechne die Fouriertransformierte $ \mbox{$\hat{f}(\omega)$}$ .
(3)
Berechne $ \mbox{$[\vert t\vert e^{-t}]^\wedge(\omega)$}$ unter Zuhilfehnahme der Faltung.
(4)
Zeige, daß $ \mbox{${\displaystyle\sum}_{n = 0}^\infty \dfrac{1}{1 + 4\pi^2 n^2} = \dfrac{3e - 1}{4e - 4}$}$ .
(5)
Zeige, daß $ \mbox{${\displaystyle\int}_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{(1 + s^2)^2}\,\text{d}s = \dfrac{\pi}{2}$}$ .