Aufgabe.

Sei $ \mbox{$f(t) := (t^2 + 1)^{-1}$}$ .

(1)
Berechne die Fouriertransformierte von $ \mbox{$f(t)$}$ .
(2)
Berechne die Fouriertransformierte von $ \mbox{$t f(t)^2$}$ .
(3)
Berechne die Fouriertransformierte von $ \mbox{$t^2 f(t)^2$}$ .
(4)
Bestätige im vorliegenden Fall durch direkte Rechnung, daß $ \mbox{$(f^\wedge)^\wedge(t) = 2\pi\cdot f(-t)$}$ .
(5)
Verwende die Parsevalsche Gleichung zur Berechnung von $ \mbox{$\int_{-\infty}^{+\infty} (t^2 + 1)^{-2}\,\text{d}t$}$ .
(6)
Verwende die Poissonsche Summationsformel zur Berechnung von $ \mbox{$\sum_{n = 1}^\infty (1 + n^2)^{-1}$}$ .