Lösung.

Beachte zunachst, daß

$ \mbox{$\displaystyle \overline{\hat{f}(-\omega)} \; =\; [\overline{f(t)}]^\wedge(\omega) \; =\; [f(t)]^\wedge(\omega) \; =\; \hat{f}(\omega) $}$
stets, da $ \mbox{$f$}$ reellwertig ist.

Für $ \mbox{$\omega\in\mathbb{R}$}$ wird nun in der Tat

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} [(f(t) + f(-t))/2]^\wedge(\omega) & =... ...)}/2 \vspace*{2mm}\\ & = & \text{Re}\, \hat{f}(\omega)\; . \\ \end{array}$}$