Parseval.

Es sei $ \mbox{$p > 0$}$ und $ \mbox{$f,\, g\,:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$}$ zwei $ \mbox{$p$}$ -periodische Funktionen, für die in $ \mbox{$[-p,p]$}$ nur endlich viele Unstetigkeitsstellen liegen, und für die in jeder solchen Unstetigkeitsstelle der links- und der rechtsseitige Grenzwert existieren.

Dann gilt die Parsevalsche Skalarproduktgleichung

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k = -\infty}^{\infty} c_k(f) \overline{c_k(g)} \;=\; \frac{1}{p}\int_0^p f(t)\overline{g(t)}\,\text{d}t\; . $}$

Insbesondere gilt die Parsevalsche Normgleichung

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k = -\infty}^{\infty} \vert c_k(f)\vert^2 \;=\; \frac{1}{p}\int_0^p \vert f(t)\vert^2\,\text{d}t\; . $}$

Speziell kann eine Folge $ \mbox{$(c_k)_{k\in\mathbb{Z}}$}$ nur als Koeffizientenfolge einer Fourierreihe einer wie eingangs beschriebenen Funktion auftreten, wenn die Quadratsumme $ \mbox{$\displaystyle\sum_{k = -\infty}^\infty \vert c_k(f)\vert^2$}$ konvergiert.

Darüberhinaus liefert jede Fourierentwicklung als ,,Nebenprodukt``noch den Wert von $ \mbox{$\displaystyle\sum_{k = -\infty}^\infty \vert c_k(f)\vert^2$}$ . Manchmal ist dies unser einziger Weg zur Auswertung der entstandenen Reihe. Z.B. wird sich $ \mbox{$\displaystyle\sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\,$}$ ergeben.