Lösung.

1.
Wir erhalten für $ \mbox{$k\ne 0$}$
$ \mbox{$\displaystyle c_k \;=\; \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} t e^{-\mathrm{i}kt}\,\text{d}t \;=\; \frac{\mathrm{i}}{k}\; , $}$
sowie
$ \mbox{$\displaystyle c_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} t\,\text{d}t = \pi $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle \text{S}_f(x) \;=\; \pi + \sum_{k = -\infty,\; k\ne 0}^{\infty} \frac{\mathrm{i}}{k}\; e^{\mathrm{i}kx} \; . $}$

Skizze des Graphen der ersten $ \mbox{$4$}$ und des Graphen der ersten $ \mbox{$20$}$ Summanden der zugehörigen reellen Fourierreihe $ \mbox{$\pi - 2\displaystyle\sum_{k = 1}^\infty \frac{\sin(kx)}{k}\,$}$ .

\includegraphics[width = 12cm, height = 8cm]{saege.eps}

2.
Die Parsevalsche Normgleichung gibt
$ \mbox{$\displaystyle \pi^2 + 2\sum_{k = 1}^{\infty} k^{-2} \;=\; \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} t^2\,\text{d}t \;=\; \frac{4\pi^2}{3}\; , $}$
also
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \;=\; \frac{\pi^2}{6}\; . $}$

Zum Vergleich, es sind

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\sum_{k = 1}^{10} k^{-2}... ...style\pi^2/6 & \approx & 1.644934066848226436472415166646\,. \\ \end{array}$}$
Die auffällige Übereinstimmung weiterer Dezimalen erklärt sich (zum Teil) mittels der guten Näherung des Restes durch
$ \mbox{$\displaystyle \int_N^\infty \frac{1}{t^2}\,\text{d}t = \frac{1}{N} $}$
für $ \mbox{$N > 0\,$}$ .