Lösung.

Die kleinstmögliche Periode von $ \mbox{$f$}$ ist $ \mbox{$\pi$}$ . Wir berechnen für $ \mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c_k(f) & = & \dfrac{1}{\pi}\displa... ...ht) \vspace{3mm}\\ & = & -\dfrac{2}{\pi(4k^2 - 1)} \; .\\ \end{array} $}$
Das Ergebnis ist reell, also ist $ \mbox{$b_k = 0$}$ stets (was auch folgt, da $ \mbox{$f$}$ gerade ist), und
$ \mbox{$\displaystyle a_k(f) \;=\; 2\,\text{Re }c_k(f) \;=\; -\dfrac{4}{\pi(4k^2 - 1)} $}$
für $ \mbox{$k\ge 0$}$ . Daher ist die Fourierreihe von $ \mbox{$f$}$ gegeben durch
$ \mbox{$\displaystyle S_f(x) \;=\; \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2kx)}{4k^2 - 1}\; . $}$
Es gilt $ \mbox{$S_f(x)=f(x)$}$ für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ , da $ \mbox{$f$}$ auf $ \mbox{$\mathbb{R}$}$ stetig, bei $ \mbox{$x\in\mathbb{R}\setminus \pi\mathbb{Z}$}$ differenzierbar, und bei $ \mbox{$x\in\pi\mathbb{Z}$}$ immerhin noch links- und rechtsseitig differenzierbar ist.

Skizze des Graphen der ersten $ \mbox{$3$}$ und des Graphen der ersten $ \mbox{$20$}$ Summanden der Fourierreihe.

\includegraphics[width = 12cm]{s3.eps}