Lösung.

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c_k & = & \displaystyle\frac{1}{2\... ...yle\frac{(-1)^k\,\sinh\pi}{\pi(1 + k^2)}\;, \vspace*{2mm} \\ \end{array} $}$
also reell und folglich gilt $ \mbox{$b_k = 0\,$}$ .

Ferner ist

$ \mbox{$\displaystyle a_k \;=\; 2\,\text{Re }c_k \;=\; \frac{2(-1)^k\,\sinh\pi}{\pi(1 + k^2)}\; , $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle \text{S}_f(x) \;=\; \frac{\sinh\pi}{\pi} + \sum_{k = 1}^\infty \frac{2(-1)^k\,\sinh\pi}{\pi(1 + k^2)}\,\cos(kx)\,. $}$
Die Funktion $ \mbox{$f$}$ ist auf $ \mbox{$(-\pi,\pi)$}$ differenzierbar, und bei $ \mbox{$\pi$}$ stetig und rechts- wie linksseitig differenzierbar. Somit folgt $ \mbox{$\text{S}_f(x) = f(x)$}$ für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ .

Skizze des Graphen der ersten $ \mbox{$3$}$ und des Graphen der ersten $ \mbox{$21$}$ Summanden der Fourierreihe.

\includegraphics[width = 12cm]{s1.eps}