Lösung.

Eine direkte Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten wäre aufwendiger als die nun durchzuführende Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten von $ \mbox{$f$}$ . Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c_k & = & \dfrac{1}{\pi}\displaystyle... ... & = & \dfrac{1 + 2k\text{i}}{\pi(1 + 4k^2)} (e^\pi - 1) \; .\\ \end{array}$}$
für $ \mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ . Somit ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcrcr} a_k & = & 2\text{Re }(c_k) & = & \d... ...t{Im }(c_k) & = & -\dfrac{4k(e^\pi - 1)}{\pi(1 + 4k^2)} \; . \\ \end{array}$}$
Wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \text{S}_f(x) \;=\; 2(e^\pi - 1)\pi^{-1} \left(\frac{1}{... ... - \left(\sum_{k = 1}^\infty \frac{2k\sin(2kx)}{1 + 4k^2}\right)\right) \; . $}$

Skizze des Graphen der jeweils ersten $ \mbox{$3$}$ und des Graphen der jeweils ersten $ \mbox{$100$}$ Summanden der Fourierreihe.

\includegraphics[width = 12cm]{l3.eps}

Da $ \mbox{$f$}$ für $ \mbox{$x\in (0,\pi)$}$ differenzierbar ist, gilt dort $ \mbox{$\text{S}_f(x) = f(x)$}$ .

Bei $ \mbox{$x = 0$}$ ist $ \mbox{$f$}$ noch einseitig stetig und einseitig differenzierbar mit $ \mbox{$f(0+) = 1$}$ und $ \mbox{$f(0-) = e^\pi$}$ . Also gilt dort

$ \mbox{$\displaystyle \text{S}_f(0) \;=\; 2(e^\pi - 1)\pi^{-1} \left(\frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{1 + 4k^2}\right) \;=\; (e^\pi + 1)/2 $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{1 + 4k^2} \;=\; \dfrac{\pi(e^\pi + 1)}{4(e^\pi - 1)} - \dfrac{1}{2}\;\approx\; 0.3563442876 \; . $}$