Lösung.

Eine direkte Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten wäre aufwendiger als die nun durchzuführende Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten von $ \mbox{$f$}$ . Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c_k & = & \frac{1}{2\pi}\displays... ...^k\cdot\left(\dfrac{1}{\mu-k}+\dfrac{1}{\mu+k}\right) \; .\\ \end{array} $}$
für $ \mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ . Daher folgt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcrcl} a_k &=& 2\,\text{Re}(c_k) & = & \... ...ht) \vspace{2mm} \\ b_k &=& -2\,\text{Im}(c_k) & = & 0 \\ \end{array} $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \text{S}_f(x) \;=\; \frac{\sin(\mu\pi)}{\pi}\cdot\left(... ...^\infty{(-1)^k\left(\frac{1}{\mu-k}+\frac{1}{\mu+k}\right)}\cos(kx)\right). $}$
Skizze des Graphen der ersten $ \mbox{$3$}$ und des Graphen der ersten $ \mbox{$100$}$ Summanden der Fourierreihe für $ \mbox{$\mu = 1.6$}$ .
\includegraphics[width = 12cm, height = 8cm]{l2.eps}

Die Funktion $ \mbox{$f$}$ ist wegen $ \mbox{$\cos(\mu\pi) = \cos(-\mu\pi)$}$ auf ganz $ \mbox{$\mathbb{R}$}$ stetig und auch links- und rechtsseitig differenzierbar. Deshalb gilt $ \mbox{$\text{S}_f(x)=f(x)$}$ für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ .

Einsetzen von $ \mbox{$\pi$}$ ergibt

$ \mbox{$\displaystyle \cos(\mu\pi)\;=\;\frac{\sin(\mu\pi)}{\pi}\cdot\left(\fr... ...ty{(-1)^k\left(\frac{1}{\mu-k}+\frac{1}{\mu+k}\right)}\cos(k\pi)\right)\; , $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle \pi\cot(\mu\pi) \;=\; \frac{1}{\mu}+\sum_{k=1}^\infty{(-1)^k\left(\frac{1}{\mu-k}+\frac{1}{\mu+k}\right)} \; . $}$