Lösung.

  1. Der Rand von $ \mbox{$B$}$ setzt sich aus dem Kreis in der $ \mbox{$xy$}$ -Ebene mit Radius 2 um den Nullpunkt und dem Paraboloid $ \mbox{$z=4-x^2-y^2, \; z\geq 0$}$ , zusammen. Wir parametrisieren also
    $ \mbox{$\displaystyle \Phi^{(1)}: \underbrace{[0,2] \times [0,2\pi]}_{=:\; K^{... ...rphi) := \begin{pmatrix}r \sin \varphi\\ r \cos \varphi\\ 0 \end{pmatrix}, $}$
    sowie
    $ \mbox{$\displaystyle \Phi^{(2)}: \underbrace{[0,2] \times [0,2\pi]}_{=:\; K^{... ...) := \begin{pmatrix}r \cos \varphi\\ r \sin \varphi\\ 4-r^2 \end{pmatrix}. $}$
    Die unterschiedliche Wahl der ersten Komponenten mag zunächst ungewöhnlich erscheinen, ist jedoch dadurch bedingt, daß wir garantieren möchten, daß die folgenden Normalenvektoren der Flächen $ \mbox{$\Phi^{(1)}$}$ und $ \mbox{$\Phi^{(2)}$}$ jeweils nach außen zeigen.
    $ \mbox{$\displaystyle (\Phi_r^{(1)} \times \Phi_\varphi^{(1)})(r,\varphi) \; =\; \begin{pmatrix}0\\ 0\\ -r \end{pmatrix}, $}$
    $ \mbox{$\displaystyle (\Phi_r^{(2)} \times \Phi_\varphi^{(2)})(r,\varphi) \; =\; \begin{pmatrix}2r^2 \cos \varphi\\ 2 r^2 \sin \varphi\\ r \end{pmatrix}. $}$
    Nun ist
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B} f \; =\; \int_{\Phi^{(1)}} f + \int_{\Phi^{(2)}} f\;. $}$
    Folglich berechnen wir
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Phi^{(1)}} f &=&... ... \varphi) \; \text{d} \varphi \; \text{d} r\vspace{3mm}\\ &=& 0 \end{array}$}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Phi^{(2)}} f &=&... ...dfrac{r^4}{4} + 2r^2 \right]_0^2 \vspace{3mm}\\ &=& 24 \pi \; . \end{array}$}$
    Wir haben also berechnet, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B} f \; =\; 24 \pi\; . $}$

  2. Wir bemerken, daß die Voraussetzungen des Gaußschen Integralsatzes erfüllt sind und bestimmen $ \mbox{$\text{div }f=3$}$ . Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten ist
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\partial B} f &=... ...2r^2 - \dfrac{r^4}{4} \right]_0^2\vspace{3mm}\\ &=& 24 \pi \; . \end{array}$}$