Lösung.

Wir verwende die Parametrisierungen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \Phi(r,\varphi) & = & \begin{pmatrix}... ... = & \begin{pmatrix}r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\\ 0\end{pmatrix}\end{array}$}$
mit jeweils $ \mbox{$(r,\varphi)\in [0,1]\times [-\pi,\pi]$}$ .

Wir berechnen die Oberflächenintegrale zunächst mit dem Stokesschen Integralsatz.

Den Rand $ \mbox{$\partial K$}$ von $ \mbox{$K$}$ , der sich aus vier Geradenstücken zusammensetzt, beschreiben wir durch die folgenden vier ebenen Kurven.

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcll} \alpha(t) &=& (0,-t)^\text{t}\; , & ... ...mm}\\ \delta(t) &=& (-t,\pi)^\text{t}\; , & t\in [-1,0]\;. \\ \end{array}$}$
Der Rand $ \mbox{$\partial\Phi=\Phi\circ\partial K$}$ der Fläche $ \mbox{$\Phi$}$ wird also beschrieben durch die vier Raumkurven
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcll} (\Phi\circ\alpha)(t) &=& (0,\; 0,\; ... ...circ\delta)(t) &=& (t,\; 0,\;1-t^2)^\text{t}\; , & t\in [-1,0]\;. \end{array}$}$
Eine Betrachtung dieser Wege wird die Rechnung erleichtern. Zunächst ist $ \mbox{$\Phi\circ\alpha$}$ ein konstanter Weg, d.h. ein Kurvenintegral längs dieses Weges ist $ \mbox{$0$}$ . Ferner ist $ \mbox{$\Phi\circ\beta$}$ genau der zu $ \mbox{$\Phi\circ\delta$}$ entegegengestetzte Weg. Die Kurvenintegrale längs dieser beiden Wege heben sich gegenseitig auf. Es bleibt $ \mbox{$\Phi\circ\gamma$}$ zu betrachten. (Es bleibt also der anschaulich geometrische Rand von $ \mbox{$\Phi$}$ übrig.)

Der Rand $ \mbox{$\partial\Psi=\Psi\circ\partial K$}$ der Fläche $ \mbox{$\Psi$}$ wird also beschrieben durch die vier Raumkurven

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcll} (\Psi\circ\alpha)(t) &=& (0,\; 0,\; ... ...si\circ\delta)(t) &=& (t,\; 0,\; 0)^\text{t}\; , & t\in [-1,0]\;. \end{array}$}$
Zunächst ist $ \mbox{$\Psi\circ\alpha$}$ ein konstanter Weg, d.h. ein Kurvenintegral längs dieses Weges ist $ \mbox{$0$}$ . Ferner ist $ \mbox{$\Psi\circ\beta$}$ genau der zu $ \mbox{$\Psi\circ\delta$}$ entegegengestetzte Weg. Die Kurvenintegrale längs dieser beiden Wege heben sich gegenseitig auf. Bleibt $ \mbox{$\Psi\circ\gamma$}$ zu betrachten. (Es bleibt also der anschaulich geometrische Rand von $ \mbox{$\Psi$}$ übrig.)

Und es ist $ \mbox{$\Psi\circ\gamma = \Phi\circ\gamma$}$ . Wie also schon die Anschauung nahelegte, stimmen die rechten Seiten der Gleichung im Stokeschen Integralsatz für $ \mbox{$\Phi$}$ und für $ \mbox{$\Psi$}$ überein. Der Stokessche Integralsatz liefert somit

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\Phi \text{rot }v \... ...e\int_{-\pi}^{\pi} 1\;\text{d}t \vspace*{2mm}\\ & = & 2\pi \; . \end{array}$}$

Für die direkte Rechnungen via $ \mbox{$\Phi$}$ und via $ \mbox{$\Psi$}$ bestimmen wir zunächst

$ \mbox{$\displaystyle \text{rot }v \;=\; \begin{pmatrix}1-0\\ 0-1\\ 1+1\end{pmatrix}\;=\; \begin{pmatrix}\phantom{-}1\\ -1\\ \phantom{-}2\end{pmatrix}\;, $}$
sowie
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\Phi_r \times \Phi_\varphi)(t,\varph... ...{pmatrix}2r^2\cos\varphi\\ 2r^2\sin\varphi\\ r\end{pmatrix}\;, \end{array}$}$
und entsprechend
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\Psi_r \times \Psi_\varphi)(t,\varph... ...space*{2mm}\\ & = & \begin{pmatrix}0\\ 0\\ r\end{pmatrix} \;. \end{array}$}$

Damit ist auch geklärt, daß der Normalenvektor jeweils nichtnegative dritte Koordinate hat, d.h. nicht nach unten zeigt.

Nach Definition des Oberflächenintegrals ist dann zum einen für $ \mbox{$\Phi$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\Phi \text{rot }v &... ...style\int_0^1 2r\;\text{d}r \vspace*{2mm}\\ & = & 2\pi \; .\\ \end{array}$}$
Zum anderen wird für $ \mbox{$\Psi$}$
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\Psi \text{rot }v &... ...style\int_0^1 2r\;\text{d}r \vspace*{2mm}\\ & = & 2\pi \; .\\ \end{array}$}$

Bemerkung: Da die Flächen $ \mbox{$\Phi$}$ und $ \mbox{$\Psi$}$ denselben anschaulich geometrischen Rand besitzen, folgt also nach dem Stokesschen Satz $ \mbox{$\int_\Phi \text{rot }v = \int_\Psi \text{rot }v$}$ . Dies liegt jedoch daran, daß sich die nicht-übereinstimmenden Teile nicht auf das Integral auswirken, was im allgemeinen nicht zu stimmen braucht.