Lösung.

  1. Der Greensche Integralsatz liefert zum einen
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\gamma xy\;\text{d}... ...{d}(x,y) \vspace*{2mm}\\ & = & -x_S\cdot\text{vol}(B) \; , \\ \end{array}$}$
    und zum anderen
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\gamma xy\;\text{d}... ...t{d}(x,y) \vspace*{2mm}\\ & = & y_S\cdot\text{vol}(B) \; , \\ \end{array}$}$
    wie behauptet.

  2. Skizze des Bereichs $ \mbox{$B$}$ .
    \includegraphics[width = 8cm]{s3.eps}

    Die Kurven $ \mbox{$\alpha,\beta,\delta$}$ seien definiert durch

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rlcl} \alpha: [0,2]\to\mathbb{R}^2\;, & \a... ...athbb{R}^2\;, & \delta(t) & = & \displaystyle{t\choose t}\;. \\ \end{array}$}$
    Dann wird $ \mbox{$B$}$ berandet durch die positive orientierte Kurve $ \mbox{$\gamma=\alpha-\beta-\delta$}$ . Mit dem Greenschen Integralsatz wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{vol}(B) & = & \dfrac{1}{2}\disp... ...yle\int_1^2\dfrac{2}{t}\;\text{d}t\vspace*{2mm}\\ &=& \log 2\;. \end{array}$}$
    Die Koordinaten des Schwerpunkts $ \mbox{$(x_S,y_S)^\text{t}$}$ von $ \mbox{$B$}$ ergeben sich mit Hilfe von 1. zu
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x_S & = & -\dfrac{1}{\log 2}\display... ...}+1+\dfrac{1}{3}\right)\vspace*{2mm}\\ & = & \dfrac{2}{3\log 2} \end{array}$}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} y_S & = & \dfrac{1}{\log 2}\displayst... ...2}-\dfrac{1}{3}\right)\vspace*{2mm}\\ &=& \dfrac{1}{3\log 2}\;. \end{array}$}$

Als Probe prüfe man den resultierenden Schwerpunkt anhand der Skizze auf Plausibilität. Er sollte in $ \mbox{$B$}$ liegen, und dort auch nicht gerade am Rand.