Lösung.

Mit dem Greenschen Integralsatz und Polarkoordinatentransformation erhalten wir sofort

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int_{\partial S}(x^2-y^...
...m}\\
& = & \displaystyle 2\pi\int_0^1 r\ \text{d}r \;=\; \pi\ .
\end{array}$}$
Um direkt rechnen zu können, parametrisieren wir $ \mbox{$\partial S=\left\{(x,y)^\text{t}\in\mathbb{R}^2\vert\;x^2+y^2=1\right\}$}$ durch
$ \mbox{$\displaystyle
[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}^2,\;
\varphi\mapsto \begin{pmatrix}\cos\varphi\\  \sin\varphi\end{pmatrix}\;,
$}$
und berechnen das Kurvenintegral
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int_{\partial S}(x^2-y^...
...phi)(\cos\varphi)\right]_{-\pi}^\pi\vspace{3mm}\\
& = & \pi\; .
\end{array}$}$