Integralsätze.

Divergenz und Rotation.
Es seien $ \mbox{$M\subseteq \mathbb{R}^n$}$ offen, $ \mbox{$f=(f_1,\ldots,f_n)^\text{t} :M\to\mathbb{R}^n$}$ ein Vektorfeld auf $ \mbox{$M$}$ und $ \mbox{$\Phi:M\to\mathbb{R}$}$ eine skalare Funktion auf $ \mbox{$M$}$ . Wir definieren, falls existent,

(i)
$ \mbox{$\Delta\Phi \;:=\; \displaystyle\sum\limits_{\nu=1}^n\dfrac{\partial^2\Phi}{(\partial x_\nu)^2}$}$     (Laplace $ \mbox{$\Phi$}$ )
(ii)
$ \mbox{$\text{div }f \;:=\; \displaystyle\sum\limits_{\nu=1}^n\dfrac{\partial f_\nu}{\partial x_\nu}$}$     (Divergenz $ \mbox{$f$}$ )
(iii)
$ \mbox{$\text{rot }f \;:=\; \left(\dfrac{\partial f_3}{\partial x_2}-\dfrac{\pa... ...partial f_2}{\partial x_1}-\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)^\text{t}$}$ (Rotation $ \mbox{$f$}$ ), falls $ \mbox{$n=3$}$ .

Eine Merkregel zur Rotation ist der formale Ausdruck

$ \mbox{$\displaystyle \text{rot }f \; =\; \nabla\times f \;=\; \begin{pmatrix}... ...ial x_3}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}f_1\\ f_2\\ f_3\end{pmatrix}\;. $}$

Der Greensche Integralsatz.

Eine nichtleere Menge $ \mbox{$K\subseteq \mathbb{R}^2$}$ heißt regulär, falls

(i)
$ \mbox{$K$}$ kompakt und zusammenhängend ist, und
(ii)
der Rand $ \mbox{$\partial K$}$ gleich dem Träger eines geschlossenen Weges $ \mbox{$\gamma: [a,b]\to\mathbb{R}^2$}$ ist, der abgesehen von seinem Anfangs- und Endpunkt doppelpunktfrei ist.

Wir schreiben dann in suggestiver Weise $ \mbox{$\partial K$}$ anstelle von $ \mbox{$\gamma$}$ . Wir erinnern daran, daß ein Weg eine stückweise stetig differenzierbare Kurve ist.

Wir setzen dabei stets voraus, daß $ \mbox{$K$}$ links zur Durchlaufrichtung der Kurve $ \mbox{$\gamma$}$ aus (ii) liegt. Man spricht hierbei vom positiv orientierten Rand von $ \mbox{$K$}$ . Es seien ferner $ \mbox{$O\subseteq\mathbb{R}^2$}$ eine offene Obermenge von $ \mbox{$K$}$ und $ \mbox{$f:O\to\mathbb{R}^2$}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

Der Greensche Integralsatz besagt, daß

$ \mbox{$\displaystyle \int_K\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right) \;=\; \int_{\partial K}f\ . $}$

Wendet man den Greeenschen Integralsatz auf $ \mbox{$f(x_1,x_2):=\frac{1}{2}(-x_2,x_1)^\text{t}$}$ an, so gilt insbesondere die folgende Formel für den Flächeninhalt von $ \mbox{$K$}$ .

$ \mbox{$\displaystyle \text{vol}(K) \;=\; \dfrac{1}{2}\;\int_{\partial K} x_1\;\text{d}x_2-x_2\;\text{d}x_1\;. $}$

Der Stokessche Integralsatz.

Sei $ \mbox{$K\subseteq \mathbb{R}^2$}$ regulär, mit $ \mbox{$\partial K$}$ parametrisiert von $ \mbox{$\gamma: [a,b]\to\mathbb{R}^2$}$ . Sei $ \mbox{$\Phi:K \to \mathbb{R}^3$}$ eine Fläche. Ferner existiere eine offene Obermenge $ \mbox{$O\supseteq K$}$ derart, daß sich $ \mbox{$\Phi$}$ fortsetzen läßt zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion $ \mbox{$\tilde\Phi:O\to\mathbb{R}^3$}$ . Es bezeichne $ \mbox{$\partial K$}$ den positiv orientieren Rand von $ \mbox{$K$}$ . Dann sei $ \mbox{$\partial \Phi :=\Phi(\partial K) = \Phi\circ(\partial K)$}$ der entsprechende positiv orientierte Rand der Fläche von $ \mbox{$\Phi$}$ .

Sei $ \mbox{$G\supseteq \mathcal T(\Phi)$}$ eine offene Obermenge des Trägers von $ \mbox{$\Phi$}$ , und sei $ \mbox{$f:G\to\mathbb{R}^3$}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

Der Stokessche Integralsatz besagt, daß

$ \mbox{$\displaystyle \int_\Phi\text{rot }f \;=\; \int_{\partial\Phi}f\;. $}$

Der Gaußsche Integralsatz.

Eine Fläche $ \mbox{$\Phi:K \to \mathbb{R}^3$}$ heißt regulär, falls

(i)
$ \mbox{$K\subseteq \mathbb{R}^2$}$ regulär ist,
(ii)
$ \mbox{$\Phi$}$ injektiv auf dem Inneren von $ \mbox{$K$}$ ist, und
(iii)
der Normalenvektor $ \mbox{$\text{n}_\Phi:=\Phi_{x_1}\times\Phi_{x_2}$}$ auf dem Inneren von $ \mbox{$K$}$ nicht verschwindet.

Es sei $ \mbox{$B \subseteq \mathbb{R}^3$}$ kompakt und zusammenhängend, und dergestalt, daß $ \mbox{$\partial B=\bigcup\limits_{\mu=1}^m \mathcal{T}(\Phi^{(\mu)})$}$ eine endliche Vereinigung von regulären Flächen $ \mbox{$\Phi^{(1)},\ldots,\Phi^{(m)}$}$ ist,

Kurz, sei $ \mbox{$\partial B$}$ stückweise stetig differenzierbar mit nach außen weisendem Normalenvektor und sich annullierenden Rändern der Flächenstücke parametrisiert. Man spricht dann bei $ \mbox{$\partial B$}$ auch von einer orientierbaren Fläche.

Sei $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{R}^3$}$ eine offene Obermenge von $ \mbox{$B$}$ . Sei $ \mbox{$f:G\to\mathbb{R}^3$}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

Dann besagt der Gaußsche Integralsatz, daß

$ \mbox{$\displaystyle \int_B \text{div }f \;=\; \int_{\partial B} f\;. $}$

Dabei sei $ \mbox{$\partial B$}$ als suggestive Schreibweise für die Summe aller Flächen $ \mbox{$\Phi^{(1)},\ldots,\Phi^{(m)}$}$ aufgefaßt, d.h. $ \mbox{$\int_{\partial B} f:=\sum\limits_{\mu=1}^m\int_{\Phi^{(\mu)}} f$}$ .